Alcune
considerazioni generali sugli errori.
Si considerano gli errori piccoli rispetto ai valori assoluti. Quindi trascurabile
il prodotto di due errori
a) Operazione somma:
C = A + B
Cmax
= Amax + Bmax
Cmin = Amin + Cmin
Cerr = Cmax – Cmin
= Amax – Amin + Bmax – Bmin
= Aerr + Berr
In altre parole in un’addizione gli errori assoluti degli
addendi si sommano
b) Operazione moltiplicazione
C = A x B
Cmax
= Amax * Bmax
= (Amin + Aerr) * (Bmin + Berr)
= Amin * Bmin + Amin * Berr + Bmin * Aerr + (Aerr * Berr
trascurabile)
Cmin
= Amin * Bmin
Cerr = Cmax – Cmin
= Amin * Berr + Bmin * Aerr
e dividendo entrambi i membri per Cmin
Cerr
/ Cmin = Aerr / Amin + Berr / Bmin
In altre parole in una moltiplicazione
gli errori relativi dei fattori si sommano
d) Operazione divisione
C
= A / B
Cmax = Amax / Bmin
Cmin = Amin / Bmax
Cerr = Cmax – Cmin
= (Amin + Aerr) / Bmin – Amin / Bmin + Berr
= (Amin + Aerr) / Bmin – Amin * (Bmin – Berr) / ((Bmin – Berr) * (Bmin + Berr))
ora
((Bmin – Berr) * (Bmin + Berr)) = Bmin ^2 – (Berr^2 trascurabile) = Bmin ^ 2
Cerr
= (Bmin (Amin + Aerr) – Amin (Bmin -Berr)) / Bmin ^ 2
Cerr = (Bmin * Aerr + Amin * Berr) / Bmin ^ 2
Cerr / Cmin = (Bmin * Aerr + Amin * Berr) / Bmin * (Amax sostituibile con Amin)
Ne
risulta, come nella moltiplicazione:
Cerr / Cmin = Aerr / Amin + Berr /
Bmin
cioè gli errori relativi si sommano.
Ora veniamo all’esempio proposto:
M = (2 A ^ 2) / B + C
Chiamiamo Arel, Brel, Crel gli errori relativi delle tre variabili, Aass, Bass,
Cass gli errori assoluti
detto P = (2 A ^ 2) / B sarà Prel = 2 Arel + Brel
Sarà anche Pass = P * Prel = (2 Arel + Brel) * ((2 A ^ 2) / B )
(n.b. (2 Arel) deriva dalla elevazione al quadrato non dal fattore due
che è senza errore)
e Mass = Pass + Cass = (2 Arel + Brel) * ((2 A ^ 2) / B ) + Cass
Passando ai numeri:
a = (1.4+-0.1) cm -> Arel = 7%
b = 10,0+-0,1 -> Brel = 1%
c = 10,0+-0,1 -> Cass = 0.1
Mass = (2 * .07 + .01) * ((2 * 1.4 ^ 2) / 10) + 0.1 = 0.65
con questo errore ha senso tenere anche una cifra dopo la virgola (io scriverei
M=10,4 +- 0,6).
ma l’ordine di grandezza dell’errore dovrebbe essere quello anche se il risultato
non fa 13,56.