La teoria di Galois è una delle più belle teorie matematiche che esistano; una delle applicazioni principali della teoria stessa è la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica. In realtà già Abel e Ruffini a fine Settecento e nei primi dell’Ottocento, quindi prima di Galois, dimostrarono che la generica equazione algebrica di grado maggiore o uguale a 5 non è risolubile per radicali. La teoria di Galois permette di caratterizzare quali equazioni sono o no risolubili per radicali: l’equazione x5-1=0 è di quinto grado, ma è risolubile per radicali; il Teorema di Abel-Ruffini invece non dice nulla al riguardo.
La definizione capitale riguardo alla teoria della risolubilità delle equazioni algebriche è la seguente.
Definizione. Sia dato un campo K di caratteristica zero. L’equazione algebrica f(x)=0 è risolubile per radicali se esiste un’estensione M del campo di spezzamento S di f su K tale che:
A) M:K è un’estensione di Galois;
B) esistono a1… am appartenenti a M e n1…. nm appartenenti a N tali per cui M=K(a1,…,am),
a1n1 ∈ K, a2n2 ∈ K(a1), … , amnm ∈ K(a1,…,am-1).
Vediamo di capire cosa sta dicendo tale definizione.
Caso m=1). M=K(a1) e a1n1 =k ∈ K. Se a è una radice di f(x)=0 allora anzitutto a ∈ M; scriviamo poi a1=k1/n1. Ne segue che
a=k0+k1k1/n1+…+kt(k1/n1)t (1)
per un certo t intero. La formula (1) fornisce la radice a per radicali.
Caso m=2). M=K(a1,a2) e a2n2 =h0+h1k1/n1+…+hs(k1/n1)s per un certo intero s e un certo k ∈ K. Allora come prima se a è una radice di f(x)=0 allora a si può scrivere come
a=[h0+h1k1/n1+…+hs(k1/n1)s]1/n2 (2)
la quale fornisce ancora una formula per radicali.
Il Teorema chiave a cui si arriva caratterizza la risolubilità per radicali di un’equazione algebrica f(x)=0, definita come sopra, in condizioni puramente algebriche sul gruppo di Galois dell’equazione stessa. Premettiamo la seguente definizione.
Definizione. Sia G un gruppo finito; si dice che G è risolubile se esiste una catena di sottogruppi
G0={1G}<G1<…<Gk=G
tale che Gi è normale in Gi+1 e il quoziente Gi+1/Gi è abeliano.
Se l’equazione algebrica f(x)=0 è risolubile per radicali allora il gruppo GalK(f(x)) è un gruppo risolubile (e vale anche il viceversa). L’idea della dimostrazione sta nella seguente costruzione:
K < K(e) < K(a1,e) < … < K(a1,…,am,e)=M(e)
essendo e una radice primitiva p-esima dell’unità, con p=m.c.m.(a1,…,am). Dallo studio di tale catena si mostra facilmente che GalK(f(x)) è un gruppo risolubile.
Conclusione: Essendo il gruppo di Galois GalK(f(x)) dell’equazione generica di grado n pari al gruppo di permutazioni Sn si ha che l’equazione generica di grado n è risolubile per radicali se e solo se Sn è risolubile. Per n>4 il gruppo Sn non è risolubile. Infatti il gruppo alterno A5 è un gruppo semplice (non ha sottogruppi normali non banali) e non è abeliano; ne segue che A5 non è risolubile e dunque nemmeno Sn per ogni n>4, altrimenti tutti i sottogruppi di S5 sarebbero risolubili.