Il tempo di Schwarzschild ha un preciso significato
fisico, tecnicamente si tratta della coordinata temporale associata
ad un campo vettoriale di Killing di tipo tempo.
Vediamo di spiegare un po’ questa cosa, fin dove e’ possibile senza
matematica. In uno spaziotempo generico le proprieta’ metriche dipendono
dal tempo: “tutto evolve” e non c’e’ alcun modo, in generale di definire
un “tempo” in modo tale che, rispetto a quel tempo, qualche fenomeno sia
stazionario: se faccio due volte un esperimento con uno stesso sistema
fisico, in due tempi successivi, anche a parita’ di condizioni iniziali,
l’evoluzione sara’ differente nei due esperimenti. E questo solo perche’
gli istanti successivi non sono equivalenti: le proprieta’ fisiche
dello spaziotempo cambiano con il tempo. In uno spaziotempo generico,
per esempio, non e’ possibile che due sistemi termodinamici a contatto
raggiungano mai l’equilibrio e non ha senso parlare di equilibrio
termodinamico.
Il problema e’ la metrica spaziotemporale che non e’ “stazionaria”
rispetto ad alcuna scelta della coordinata temporale.
Il fatto che esista, quando esiste, una scelta privilegiata della
coordinata temporale rispetto alla quale si possano definire fenomeni
stazionari e a cui riferire l’equilibrio termodinamico, e’
una proprieta’ della metrica stessa.
Quando cio’ accade, si dice che la metrica e’ “stazionaria”.
In sistema di coordinate in cui la coordinata temporale e’ quella scelta
dalla stazionarieta’, i coefficienti della metrica risultano essere
indipendenti da tale coordinata. Se la metrica non e’ stazionaria non
esiste alcun sistema di coordinate in cui la metrica e’ indipendente
dalla coordinata spaziale.
Come lei puo’ constatare immediatamente, nella soluzione esterna della
metrica di Schwarzschild, i coefficienti della metrica NON dipendono
dal tempo di Schwarzschild.
Il tempo di Schwarzschild ha anche una particolarita’ ulteriore: dato
che nella metrica di Schwarzschild non compaiono i termini misti
a fattore di dt e dr (o d phi o d theta), se si scambia il valore del
tempo t con il suo opposto -t, la metrica (l’elemento di linea ds^2)
non cambia. Questo significa che la metrica e’ anche invariante per
inversione temporale (rispetto al tempo di Schwarzschild): in questo
caso si dice che la metrica oltre ad essere stazionaria e’ anche “statica”.