Esiste in matematica una definizione di “contare”?

La definizione rigorosa di contare è stata fornita da Giuseppe Peano, 1858-1932, matematico italiano e coincide essenzialmente con la definizione dell’insieme dei numeri naturali N:
“Il sistema N dei numeri naturali è un insieme N con una funzione succ:N->N (la funzione “successore”) ed un elemento privilegiato 0 in N tale che:
1) succ è iniettiva
2) 0 non appartiene all’immagine di succ
3) qualsiasi sottoinsieme U di N che abbia lo 0 e che contenga il successore di ogni elemento di N e di U è uguale a tutto N
In matematica il procedimento di contare equivale a stabilire un insieme N, dotandolo di un elemento iniziale, detto 0, ed una funzione di successore tale che
1) non esistono due numeri naturali con lo stesso successore
2) lo 0 non è successore di alcun numero naturale
3) N è l’unico insieme che contiene lo 0 e tutti i suoi successori (ovvero, ogni insieme che goda di questa proprietà è uguale ad N) .
In pratica, stabilito un elemento iniziale, lo 0, la funzione successore consente di determinare tutti gli elementi successivi. In matematica, insiemi costruiti in questo modo vengono detti enumerabili e sono di importanza capitale per tutta una serie di risultati davvero notevoli e, spesso, controintuitivi.
Il procedimento di “contare” così definito consente infatti non solo di contare (enumerare) insiemi finiti, ma anche stabilire criteri di enumerabilità di insiemi infiniti. Si dimostra, ad esempio, che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari e tanti quanti i numeri dispari, ovvero che la successione infinita, 0, 1, 2, 3, … conta tanti numeri quanto quella 0, 2, 4, 6, …. e la 1, 3, 5, 7, …
Il risultato è fortemente controintuitivo perché i numeri pari si ottengono togliendo i dispari dai numeri naturali quindi, apparentemente, dimezzandoli.