Il movimento, cioè la dinamica, dei corpi in rotazione è regolata dalla seconda legge della dinamica applicata ai corpi estesi, che è
M=L‘
l’apice ‘ sta a indicare la derivata (o variazione) rispetto al tempo.
Questa equazione vuol dire che la somma dei momenti delle forze esterne M provoca una variazione proporzionale del momento angolare L. Teniamo presente che questa equazione, come in tutte quelle che seguiranno tutte le grandezze, tranne il momento di inerzia I, sono grandezze vettoriali.
In un corpo simmetrico (come una sfera), che ruota, senza traslare, intorno ad un asse di simmetria, L è parallelo all’asse di rotazione, diretto secondo la regola della mano destra (chiudi la mano a pugno estendendo il pollice, se orienti la curva delle dita chiuse in modo da seguire la rotazione del corpo, la direzione del pollice ti indica la direzione del momento angolare) e con un modulo che è pari a I*w.
I è il momento di inerzia, è una grandezza che misura la massa del corpo ma anche come questa massa è distribuita intorno all’asse di rotazione, aumenta all’aumentare della massa del corpo ma aumenta anche se aumenta la distanza media dei punti del corpo dall’asse di rotazione; una sfera di paglia di 1 kg e una sfera di ferro di 1 kg hanno la stessa massa ma la sfera di paglia ha un momento di inerzia maggiore perché è più grande. Per una sfera di massa m e raggio R il momento di inerzia vale 3/5*m*R2.
w è la velocità angolare in radianti al secondo e misura l’angolo che viene coperto dalla rotazione del corpo in un secondo.
Immaginiamo di avere una sfera omogenea che ruota libera, ma ferma, intorno ad un asse, senza che vi agisca alcun momento di forze, quindi il suo momento angolare L è costante, e quindi la sfera ruota con velocità angolare costante. Ad un certo istante applichiamo una coppia di forze di uguale modulo, ma verso opposto, quindi la loro risultante è zero, che esprimono un momento pari a M. Se M è parallelo o antiparallelo a L, l’unico cambiamento che si avrà sarà una variazione del modulo di L, per cui la sfera continuerà a ruotare intorno allo stesso asse ma cambierà la sua velocità angolare. Se M è perpendicolare a L (e resta perpendicolare anche negli istanti successivi al primo) questo provoca una rotazione costante della direzione di L, e quindi dell’asse di rotazione, senza far variare il modulo del momento angolare, per cui la velocità angolare intorno all’asse di rotazione resterà la stessa, solo che l’asse non sarà più fisso nello spazio. Per inclinazioni di M rispetto a L intermedie si ha un effetto combinato di variazione dell’asse di rotazione e della velocità angolare.
Nel momento in cui la coppia cessa di agire il momento angolare resta congelato (in virtù dell’equazione scritta all’inizio) in modulo, direzione e verso e quindi la sfera resterà a ruotare intorno ad un asse diverso da quello di partenza.
Passiamo ora ad analizzare quanto detto in maniera quantitativa. Rifacendoci all’equazione di base per lo studio dei moti di rotazione M=L’, consideriamo, per semplicità, che il momento delle forze applicate sia costante nel tempo, sia in modulo direzione e verso e che il corpo ruoti senza traslare. Inoltre, come indicato dalla domanda, consideriamo una sfera che ha lo stesso momento di inerzia I rispetto a qualunque asse passante per il centro. In tal caso l’equazione diventa
M=I*a
dove a è l’accelerazione angolare. Quindi viene prodotta un’accelerazione angolare costante a=M/I. Di conseguenza la velocità angolare cambierà nel tempo secodo la legge
w(t)=w0+Mt/I
Se il momento M e la velocità angolare iniziale w0 non hanno la stessa direzione allora questa somma dà luogo ad un vettore la cui direzione non è fissa nel tempo, perchè all’umentare di t aumenta il secondo addendo che genera w(t), per cui in questo caso l’asse di rotazione non è costante ma cambia nel tempo. Dopo un tempo sufficientemente lungo, il secondo addendo sarà diventato così grande da rendere w0 trascurabile e quindi ci si ritroverà con una rotazione praticamente fissa intorno ad un’altro asse.