Che relazione c’è tra la risoluzione di una equazione e la presenza di eventuali punti doppi? Per esempio, l’equazione x⁴ = 0 ammette 4 soluzioni reali e coincidenti: sono allo stesso tempo punti doppi?

La molteplicità di un punto di una curva è il numero di intersezioni tra la curva e le tangenti alla curva in quel punto.

I punti doppi sono quelli che hanno molteplicità 2, i punti tripli sono quelli che hanno molteplicità 3, e i punti multipli sono quelli che hanno molteplicità m.

La curva di equazione y=x² nel punto (0,0) ha molteplicità 2; cioè nel punto O=(0,0) le tangenti alla curva sono due coincidenti (l’equazione dell’unica retta tangente è: y=0); cioè il punto (0,0) è un punto doppio

La curva di equazione y=x³ nel punto (0,0) ha molteplicità 3; cioè nel punto O=(0,0) le tangenti alla curva sono tre coincidenti (l’equazione dell’unica retta tangente è: y=0); cioè il punto (0,0) è un punto triplo

Ed infine la curva di equazione y=x⁴ nel punto (0,0) ha molteplicità 4; cioè nel punto O=(0,0) le tangenti alla curva sono quattro coincidenti (l’equazione dell’unica retta tangente è: y=0); cioè il punto (0,0) è un punto quadriplo , o un punto multiplo di molteplicità 4.