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La triste fine del tacchino di Russell
Per evitare confusione, è necessario distinguere il procedimento induttivo nell'ambito delle scienze empiriche e il principio di induzione nell'ambito della matematica.
Nelle scienze empiriche il procedimento induttivo consiste nel cercare di formulare una legge universale, partendo dall'osservazione di singoli casi particolari.
Da un punto di vista logico la generalizzazione all'universale non ha fondamento. Questo perché l'osservazione di un numero necessariamente finito di casi particolari non autorizza affatto l'estensione a "tutti" i casi.
Diversi autori hanno messo in evidenza questo fatto. La critica più celebre e colorita è stata quella avanzata da Bertrand Russell (1872-1970), diventata nota con il nome di "tacchino di Russell". Un tacchino vedeva ogni giorno avvicinarsi il proprio proprietario che gli portava abbondante cibo. Il tacchino induttivista pensava quindi che "tutti" i giorni il suo proprietario lo avrebbe amorevolmente nutrito. Ma arrivò il giorno del Ringraziamento e, quando il proprietario si avvicinò, invece di nutrirlo, gli tirò il collo.
Anche Karl Popper (1902-1994) mise in evidenza i limiti del procedimento induttivo e questa critica lo portò proprio alla formulazione del suo falsificazionismo. Popper e altri epistemologi misero in evidenza anche un altro aspetto. Quando si fa un'osservazione, non si ha mai un atteggiamento completamente neutro, ma si osserva ciò che si vuole osservare. In altre parole l'osservazione è carica di teoria (theory laden). Da questo punto di vista quindi, spesso l'induzione è in realtà una deduzione mascherata, perché finalizzata al controllo di una legge universale che l'osservatore ha già in mente. Naturalmente l'osservazione non può mai confermare completamente la legge ma, nel caso in cui non corrisponda alla deduzione implicita, può solamente confutarla. Tutt'al più, come osservava Popper, la mancata confutazione di una legge può aumentare la fiducia nei suoi confronti, ovvero corroborarla. Per questo motivo le affermazioni della scienza sono falsificabili e non verificabili. Da qui deriva la loro inevitabile provvisorietà: esse si ritengono "vere" finché non vengono dimostrate false.
Discorso diverso vale per il principio di induzione in matematica. Esso è un principio che si applica alle proprietà dei numeri naturali. Esso afferma che se una proprietà è vera per n=0 e se il fatto che essa valga per "n" implica che valga anche per "n+1", allora la proprietà vale in generale per tutti i valori di n.
A differenza di ciò che accade nelle scienze empiriche, il principio di induzione della matematica ha un preciso fondamento logico. Esso viene generalmente considerato un assioma. Tuttavia se si assume per vero l'assioma secondo il quale "l'insieme dei numeri naturali è bene ordinato", il principio di induzione può essere dimostrato e assume pertanto la natura di un teorema.
Un approfondimento sul principio di induzione in matematica si può trovare in questa risposta.