Consideriamo lo scenario di un conduttore (supponiamo cilindro conduttore in aria, ad esempio) percorso da corrente. Come noto, un filo percorso da corrente si scalda. Questo effetto è dovuto agli urti su scala microscopica tra gli elettroni ‘trascinati’ dal campo elettrico (cioè la corrente provocata dalla differenza di tensione ai capi del conduttore) e gli atomi del reticolo del conduttore ed è chiamato effetto Joule. La potenza elettrica dissipata è pari a Wel=V*I, ove I è l’intensità della corrente e V la tensione applicata. In genere questa relazione viene riscritta utilizzando la prima legge di Ohm, nella forma Wel=V2/R, ove R è la resistenza elettrica del conduttore. Poiché, però, al variare della temperatura la resistenza del materiale cambia, nei casi in cui il conduttore si scalda molto potrebbe essere difficile stimare con esattezza la potenza conoscendo solo la tensione. Tuttavia, misurando con precisione sia V che I, la potenza è nota ed il problema ridotto al calcolo dell’energia termica dissipata per trovare la temperatura (istantanea o di equilibrio) del conduttore stesso.
Se l’espansione termica del conduttore non compie lavoro meccanico, l’energia fornita per effetto Joule si traduce in calore acquisito dal conduttore stesso, ed eventualmente disperso nell’ambiente circostante: quest’ultimo processo è indispensabile per evitare la sua fusione e la conseguente interruzione del circuito.
La dispersione del calore può avvenire in due modi, di importanza relativa molto diversa a seconda delle condizioni operative:
1- Conduzione
2- Irraggiamento
La conduzione permette di dissipare calore mediante contatto termico con un corpo più freddo (aria, liquidi, solidi). Ciò è sempre da interpretare come urti microscopici da parte degli atomi del conduttore che cedono energia cinetica ad atomi vicini, meno veloci. In questo modo la potenza dissipata è proporzionale alla differenza di temperatura tra i due corpi, alla superficie di contatto e ad un coefficiente di scambio relativo ai due materiali. Questo rappresenta la parte più difficile da stimare in quanto dipende molto dalle condizioni reali del sistema. Ad esempio, con gas o liquidi si può innescare una convezione spontanea che aumenta di molto le capacità dissipative. Viceversa, nel contatto con un solido infinitamente spesso il trasporto è più facile da calcolare, sebbene di scarso interesse pratico!
L’irraggiamento, invece, prevede uno scambio di energia attraverso l’emanazione di onde elettromagnetiche. Ogni corpo emette onde elettromagnetiche, con uno spettro che dipende in maniera drastica dalla sua temperatura (e in modo minore dalla sua natura). Questo fenomeno è conosciuto come legge del corpo nero di Planck, e prevede una perdita di energia per unità di superficie pari a sigma*T4 (Legge di Stefan-Boltzmann). C’è da considerare che la stessa forma di energia verrà ricevuta dal conduttore da parte dei corpi circostanti, che emettono alla loro temperatura. Questo fa sì che all’equilibrio termico non si abbia scambio netto di potenza.
E’ evidente a questo punto che, mentre la conduzione risulterà il principale metodo di dissipazione per conduttori a bassa temperatura, l’irraggiamento sarà invece predominante per conduttori a temperature elevate (ad esempio le lampadine). Nel grafico in fondo è mostrato un esempio.
Per un calcolo esatto della temperatura raggiunta da un conduttore dovremo conoscere quindi sia forma che materiale del conduttore, nonché la tensione applicata. E’ anche chiaro a questo punto che anche l’ambiente circostante gioca un ruolo importante per la dissipazione del calore.
Detto questo, dobbiamo immaginarci ora cosa succede al sistema alla chiusura del circuito.
Consideriamo per semplicità un cilindro sottile, conduttore, di raggio r e lunghezza l, e colleghiamolo ad una tensione continua. Inizialmente tutto il sistema è a temperatura ambiente, ma ben presto la corrente che fluisce nel filo ne provocherà il riscaldamento. Ciò fa sì che questo inizierà a cedere energia sotto forma di calore. Se la capacità di dissipazione del conduttore è sufficiente, man mano che la temperatura sale sempre più energia verrà ceduta come calore o per irraggiamento, finché si giungerà ad un equilibrio. Se la temperatura di equilibrio è inferiore alla temperatura di fusione del materiale che costituisce il conduttore il sistema è in grado di restare indefinitamente in questa condizione, altrimenti ci possiamo aspettare che il conduttore fonderà, interrompendo il circuito.
Se vogliamo calcolare quantitativamente quello che si è ora illustrato qualitativamente, dobbiamo osservare allora che:
– La dissipazione termica avviene sulla superficie del conduttore e porta una potenza pari a Wter=k*A*(T-Ta), con Ta temperatura del mezzo circostante, k costante di trasporto e A la superficie del conduttore. Come già detto, per un conduttore immerso in aria o in un liquido il coefficiente k è molto difficile da stimare, ed in generale può dipendere dalla temperatura stessa, o dalla differenza T-Ta.
– La dissipazione per irraggiamento sarà data da Wirr=A*sigma*epsilon*(T4-Ta4), ove A è la superficie del corpo ed epsilon la sua emissività (variabile tra 0 ed 1). Anche l’emissività può dipendere dalla temperatura, il che complica ulteriormente i calcoli. Notare che qui è necessario usare la temperatura assoluta, quindi espressa in gradi Kelvin.
Possiamo cercare di combinare insieme tutte queste equazioni per ottenere la potenza netta entrante nel conduttore:
Wnet=Wel+Wterm+Wirr, con gli opportuni segni. La potenza netta in entrata è, in assenza di lavoro meccanico, per definizione la derivata del calore acquisito dal corpo: dQ/dt. Possiamo anche scrivere, in assenza di cambiamenti di fase, dQ/dt=CdT/dt, ove C è la capacità termica del corpo.
In generale questa quantità sarà diversa da zero, e pertanto l’equazione differenziale da risolvere per trovare istante per istante la temperatura del conduttore sarà, sostituendo le equazioni introdotte prima:
All’equilibrio, per quanto detto prima avremo dT/dt=0, e pertanto l’equazione differenziale si può ridurre ad una equazione algebrica per trovare la temperatura di equilibrio:
Visto che anche la risoluzione di questa equazione non è banale, oltretutto data l’incertezza sulle quantità inserite che rende di fatto l’errore sulla temperatura troppo grande, si possono fare dei conti a spanne per vedere se si può trascurare qualche termine ed avere delle soluzioni semplici.
In aria il coefficiente k vale tipicamente da 10 a 100 Wm-2K-1 fonte (http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_di_scambio_termico). Ciò significa che il termine lineare varrà 50 W a metro quadro per ogni grado centigrado di differenza di temperatura con l’ambiente attorno. Il termine di irraggiamento invece dipende da tutte e due le temperature, non essendo lineare. Un conto fatto per Ta=299 K (più o meno la temperatura ambiente) porta al seguente grafico:
Si vede facilmente che per temperature basse (al di sotto dei 1000 K) il termine lineare è dominante, mentre a temperature al di sopra dei 1500 K domina il termine di irraggiamento. In una lampadina il filamento è sotto vuoto o in un gas inerte a bassa pressione, per cui il termine lineare sarà ancora più basso di quello mostrato, a causa della piccolezza del coefficiente k.
Uno studio esplicito della temperatura di un filamento di lampadina si può trovare qui:
La potenza dissipata dal conduttore percorso da corrente è: Wel=V*I. Come accennato nella prima parte, il comportamento ohmico di un conduttore dipende in generale dalla temperatura. Nel caso in cui non sia possibile misurare contemporaneamente I e V occorre stimare una delle due (in genere l’intensità) dall’altra, con la conoscenza della resistenza del conduttore, mediante la prima legge di Ohm.
Per le leggi di Ohm, I=V/R ed R= rho*l/S, dove V è la tensione applicata, I è l’intensità risultante, r è la resistività del conduttore, l la sua lunghezza ed S la sua sezione. E’ chiaro che solo per conduttori di forma particolarmente semplice (come cilindri a sezione qualsiasi) questa seconda relazione è semplice da scrivere in forma finita. Si ha quindi Wel=V2*pi*r2/(l*rho).
Va inoltre detto che sia la resistività che le dimensioni in generale variano con la temperatura. La dilatazione termica si può esprimere come: l=l0*(1+a*(T-T0)), dove a è il coefficiente di dilatazione termica, che dipende dal materiale ed l0 la lunghezza alla temperatura T0. Aumentando la temperatura, aumentano sia la lunghezza che la sezione del conduttore, generando in generale una diminuzione del prodotto l/S. Ciò però è contrastato dall’aumento della resistività, in modo in generale non lineare, all’aumento della temperatura. Uno dei due effetti può prevalere sull’altro a seconda delle condizioni contingenti. La potenza elettrica dissipata si può allora stimare con:
La stima di R al variare della temperatura è quindi particolarmente delicata. In alcuni casi, in generale per piccole variazioni di temperatura è utilizzata la solita forma di approssimazione lineare R=R0*(1+h(T-T0)), ove h, al solito, è una costante opportuna ma sconosciuta e poco universale, che dipende da tutte le caratteristiche del conduttore e va quindi determinata caso per caso.