Vorrei sapere cos’è un punto equipotenziale.

Un campo vettoriale è una regione di spazio in cui, in ogni punto, è definibile o misurabile una data grandezza vettoriale.

In fisica sono campi vettoriali il campo elettrico, il campo magnetico, il campo gravitazionale, il campo delle velocità di un fluido e tantissimi altri.

In alcuni campi vettoriali (quelli sopra citati, per esempio) si può calcolare un integrale di linea. Ovvero, definita una linea continua nello spazio, si esegue punto per punto il prodotto scalare tra il campo nel punto e il segmento infinitesimo orientato della linea stessa. L’integrale di questi prodotti infinitesimi, esteso a tutta la linea, si chiama integrale di linea. Detto F il vettore del campo e ds il vettore infinitesimo che rappresenta il segmento orientato della linea su cui vogliamo calcolare l’integrale:

1) I = integrale (F . ds)

(A mo’ di esempio si può dire che, nel campo gravitazionale, l’integrale lungo una data linea della forza peso, agente su un corpo puntiforme, rappresenta il lavoro compiuto sul grave dal campo gravitazionale quando esso grave si spostasse esattamente lungo la linea data.)

In alcuni tipi di campo, si puo’ inoltre dimostrare che il valore dell’integrale di linea non dipende dalla forma della linea, ma soltanto dai punti di partenza e di arrivo della stessa. Questi particolari campi si chiamano irrotazionali  e questo perché, in tali campi, l’integrale di linea, lungo una qualsiasi linea chiusa, è sempre nullo o, più precisamente perché il rotore (*) di un campo irrotazionale è nullo in ogni punto. Nel caso in cui il campo irrotazionale abbia a che fare con l’energia (gravitazionale, elettrostatico, etc…) il campo si dice anche conservativo per indicare che in esso l’energia si conserva.

(sempre nell’esempio di cui sopra: il lavoro compiuto dal campo gravitazionale, quando una biglia cade dal tavolo e finisce sul pavimento, non dipende dalla traiettoria della biglia, ma dai soli punti di partenza e di arrivo.)

Per i campi irrotazionali si può definire una funzione potenziale nel seguente modo:

a) si fissa arbitrariamente un punto del campo, il riferimento.

b) si attribuisce a ogni punto del campo il valore dell’integrale di linea dal riferimento al punto stesso (che per questi campi non varia al variare della linea, ma solo al variare dei punti estremi) e questo valore è la funzione potenziale del punto.

c) cambiando il riferimento cambiano ovviamente tutti i valori, ma la differenza tra i valori di due punti qualsiasi si mantiene costante. Quest’ultima proprietà consente di affermare che la funzione potenziale è definita a meno di una costante additiva arbitraria.

d) Dato il campo scalare potenziale V(x,y,z), il campo vettoriale F(x,y,z) si ricava immediatamente con la relazione:

2) F = grad V

o, esplodendo l’operatore grad (gradiente):

3) F = i δV/δx + j δV/δy + k δV/δz

con i, j, k versori dei tre assi.

In altre parole il campo scalare V definisce completamente il campo vettoriale E e ne costituisce quindi una notevole semplificazione.


In un campo vettoriale, più che altro ai fini di una sua rappresentazione grafica, si possono individuare due sistemi di elementi: le linee di forza e le superficie equipotenziali.

Le linee di forza sono quelle linee in ogni punto tangenti al vettore campo.

Le superficie equipotenziali sono i luoghi dei punti aventi lo stesso potenziale. Ogni superficie non è necessariamente un insieme connesso. Questo vuol dire che un generico campo può avere più superficie, equipotenziali tra loro, che non si toccano mai. Superficie equipotenziali con diversi valori di potenziale non si toccano mai in ogni caso.

E’ facile dimostrare che una linea di forza è in ogni punto normale alla superficie equipotenziale passante per quel punto.


 Tutto quanto sopra per richiamare i concetti base dei campi irrotazionali dove può definirsi la funzione potenziale. Veniamo ora alla domanda:

Dato un campo così fatto, due o più punti si chiameranno equipotenziali se avranno lo stesso potenziale.

Un singolo punto puo’ essere quindi equipotenziale a un altro punto, a una superficie, ma non da solo.



 

(*) Il rotore di un campo vettoriale è un operatore che trasforma il campo vettoriale in un secondo campo vettoriale che rappresenta punto per punto la "rotazionalità" del campo dato:

In termini matematici:

rot E = i (δEy/δz – δEz/δy) + j (δEz/δx – δEx/δz)+ k (δEx/δy – δEy/δx)

Inoltre, ricordando la definizione di divergenza (scalare) di un campo vettoriale:

div G = δGx/δx + δGy/δy + δGz/δz

il rotore di qualsiasi campo ha sempre divergenza nulla, ovvero:

div rot E = 0 (identità matematica)

E infine, il rotore di un gradiente di un campo scalare è sempre nullo. In altre parole un "campo gradiente" è sempre irrotazionale.

rot grad V = 0 (identità matematica)