Vorrei capire come mai un’antenna risuona a Lambda/4, e se non è troppo complicato, vorrei sapere un’eventuale relazione matematica tra la frequenza di risonanza e la lunghezza del dipolo antenna. Grazie

Un’antenna a dipolo lunga un quarto di lunghezza d’onda non risuona! La risonanza si verifica se la lunghezza del dipolo è uguale a mezza lunghezza d’onda, oppure a multipli di mezza lunghezza d’onda.

 

L’impedenza di ingresso di un’antenna, definita come il rapporto tra la tensione e la corrente ai suoi morsetti di ingresso, è un importante parametro che descrive tutte le proprietà circuitali dell’antenna: se si sostituisce un’antenna trasmittente con un’impedenza uguale alla sua impedenza di ingresso, il generatore continua a erogare la stessa potenza attiva e reattiva.

Si dice che un’antenna risuona quando la parte immaginaria dell’impedenza di ingresso è nulla, in analogia con i circuiti risonanti RLC la cui impedenza Z=R+j[ωL-1/(ωC)] ha reattanza nulla alla pulsazione di risonanza

ω=1/(LC)1/2 . Quando l’antenna lavora in condizioni di risonanza, l’energia elettrica media e l’energia magnetica media immagazzinate nel suo campo vicino reattivo sono uguali.

 

Il grafico seguente riporta l’impedenza di ingresso di un dipolo in funzione della sua lunghezza  normalizzata alla lunghezza d’onda l; il raggio del dipolo è a=0.0002l.

 

 

Vediamo che la reattanza ha successivi nulli al crescere della lunghezza dell’antenna (o della frequenza).

Il primo nullo si verifica quando =l/2 se il dipolo è infinitamente sottile: questo è un caso ideale, un dipolo reale deve essere leggermente più corto per risuonare. Maggiore è il raggio del dipolo, più l’antenna deve essere accorciata per risuonare. Un dipolo molto sottile, ad esempio quello di raggio a=0.0002l del grafico, deve essere accorciato del 2% rispetto alla lunghezza teorica =l/2: quando a=0.0002l la lunghezza di risonanza è infatti =0.49l. Un dipolo sottile, di raggio a=0.02l, risuona quando =0.475l: esso deve quindi essere accorciato del 5% rispetto alla lunghezza teorica =l/2. Un dipolo spesso, di raggio a=0.1l, risuona quando =0.455l, cioè deve essere accorciato del 9%.

Il secondo nullo della reattanza si ha quando =l. Mentre il dipolo lungo l/2 ha un valore basso della resistenza di ingresso, di poco inferiore a 73Ω (valore teorico dell’antenna infinitamente sottile), il dipolo lungo l ha un valore elevato della resistenza di ingresso che può raggiungere alcune migliaia di Ohm. Il dipolo a l/2 è quindi più facilmente adattabile alle linee di trasmissione dei circuiti di trasmissione/ricezione e per questo motivo è più diffuso.

 

All’inizio della risposta si è detto che un’antenna a dipolo lunga un quarto di lunghezza d’onda non risuona. Dal grafico dell’impedenza vediamo, infatti, che quando =l/4 la resistenza di ingresso è prossima a zero e la reattanza assume un valore negativo piuttosto grande: l’antenna ha un comportamento capacitivo e in sostanza non irradia.

 

Però … un monopolo lungo l/4 appoggiato sul terreno o, idealmente, su un piano metallico risuona. Il monopolo deve essere appoggiato con asse perpendicolare al piano. Forse è a questo tipo di struttura che si riferisce Luca. Per la teoria delle immagini il piano conduttore può essere sostituito da un’immagine del monopolo, come nella figura qui sotto.

 

 

Il campo irradiato nel semispazio superiore al piano conduttore dal monopolo, è uguale al campo irradiato dal monopolo insieme al monopolo-immagine. Quindi un monopolo lungo un quarto di lunghezza d’onda posto su un piano metallico risuona e irradia, nella regione superiore al piano, lo stesso campo di un dipolo a l/2.

Il monopolo posto sul piano ha guadagno doppio e resistenza di ingresso dimezzata rispetto al dipolo a l/2.

Un terreno piano si comporta un po’ come un piano metallico a frequenze sufficientemente alte, la sua conducibilità si può aumentare inserendo fili metallici nella zona circostante l’antenna.

 

Infine, Luca chiede una relazione matematica tra la frequenza di risonanza e la lunghezza del dipolo. Si è discusso come la lunghezza di un dipolo infinitamente sottile debba essere =l/2 perché ci sia risonanza. La frequenza f è legata alla lunghezza d’onda l come f=c/l, dove c=3·108 m/s è la velocità della luce nel vuoto. Dunque la relazione richiesta è semplicemente f=c/(2). Come risulta evidente da quanto scritto più sopra, questa formula è approssimata nel caso reale di un dipolo avente raggio a finito.

 

 


 

 Approfondimenti:

 Applet Java gratuita per analizzare antenne a dipolo 

http://www.amanogawa.com/archive/Antenna1/Antenna1-2.html 

Con questo programmino, il cui uso è semplice e intuitivo, si possono calcolare i più importanti parametri che caratterizzano un dipolo di qualsiasi lunghezza: per esempio la direttività, l’impedenza di ingresso, la potenza irradiata. Tali parametri si possono graficare in funzione della frequenza. Il programma fornisce anche i diagrammi di radiazione del dipolo e il grafico della corrente che scorre su di esso.

 Il grafico dell’impedenza di ingresso presentato nella risposta è stato ottenuto risolvendo l’equazione di Hallen per un dipolo cilindrico con il Metodo dei Momenti (sono state usate 100 funzioni di base; il codice è stato scritto in Fortran)

 Un libro sulle antenne:

C. A. Balanis, “Antenna Theory: Analysis and Design”, ed. Wiley – Interscience, 2005. Per una buona comprensione di questo testo (in inglese) è utile avere basi di matematica, fisica e teoria dell’elettromagnetismo.