Rispondo subito dicendo no: non è possibile usare i risultati dell’Analisi complessa per funzioni definite su R o un suo sottoinsieme.
La proprietà di base infatti in Analisi complessa è l’olomorfia di una funzione, che è una proprietà che ha senso se e solo se la funzione stessa è definita su C o su un suo sottoinsieme aperto. Quindi restringendosi ad R cade tutta la trattazione della derivabilità in senso complesso, ovvero si riduce a quella in senso reale.
Il tutto indipendetemente dal fatto che la funzione abbia valori in C od in R. Infatti ricordo che una funzione definita su un aperto di C si dice derivabile in senso complesso in z0 se esiste il limite per h -> 0 del rapporto incrementale
[f(z0+h)-f(z0)] / h.
Tale definizione ricade nella definizione usuale di derivata in senso reale se la funzione f è definita su R, dal momento che non è possibile dare ad h un valore che non sia reale. Il punto che distingue la derivabilità in senso reale da quella in senso complesso sta proprio qua: in senso reale h può variare solo in “una direzione”, mentre in senso complesso h può tendere a 0 lungo diverse direzioni, in particolare rimanendo reale, oppure rimanendo immaginario puro. Questa particolarità crea conseguenze abbastanza rilevanti per una funzione derivabile in senso complesso, conseguenze che non valgono per funzioni che invece sono solo derivabili su R. Ad esempio le funzioni derivabili in senso complesso sono analitiche (sviluppabili in serie di potenze) cosa ovviamente falsa nel caso reale, od ancora se una funzione derivabile in senso complesso è definita su un aperto limitato ed è continua fino al bordo, allora il suo valore al bordo determina univocamente ogni valore della funzione all’interno del dominio (formula integrale di Cauchy), anche questa cosa assolutamente non vera nel caso reale.