Sottraendo ad un numero naturale un altro numero ottenuto permutando la prima con l’ultima cifra,le cifre centrali della differenza sono sempre dei nove. Es 301-103=198. E’ possibile averne dimostrazione?

Per prima cosa bisogna osservare che la proprietà presa in esame non vale per tutti i numeri naturali, ma solo per quelli di 3 cifre e tra questi solo per quelli non palindromi.

Si definiscono palindromi quei numeri che possono indifferentemente letti da sinistra verso destra o viceversa: per esempio, sono palindromi 12321, 45654, 100202001 e così via.

Nel caso che il numero sia di 3 cifre e sia palindromo, si può scrivere nella forma XYX. Se si sottrae il suo inverso si ottiene 0, quindi nessun multiplo di 9, a meno di non inserire anche lo 0 tra i multipli di un numero naturale, ma questo richiederebbe una ridefinizione del concetto di multiplo di un numero naturale.


Se invece il numero non è palindromo, può essere evidentemente scritto nella forma: (X+A)YX dove A è un numero compreso tra 1 e 9-X.

Proviamo a svolgere i conti:

(X+A)*100 + Y*10 + X – X*100 – Y*10 – (X+A) = A*100 – A = A*99 = A*11*9 = A*9*10 + A*9


Ora osserviamo che i numeri della tabellina del 9 hanno la proprietà che la somma delle cifre è sempre pari a 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

Quindi A*9 si scrive XY e A*9*10 si scrive XY0, con X+Y = 9. La cifra centrale di conseguenza sarà Y+X = 9. Inoltre la somma delle cifre agli estremi sarà anch’essa pari a 9.