La domanda posta non è propriamente una domanda di Matematica, bensì di Filosofia della Matematica.
In Matematica non ha importanza infatti, in generale, come vengono definiti gli enti oggetto di studio della stessa Matematica; quello che veramente ha importanza per la Matematica sono le proprietà che gli oggetti hanno, definiti a volte in modo astruso e controintuitivo. A ciò si aggiunge il fatto che la definizione di numero sta alla base della Matematica, e quindi oltre a rientrare nella categoria della definizione dette di sopra, è anche abbastanza delicata di per sè.
Quello che veramente conta però è che non ha importanza avere una definizione di numero invece di un’altra, anche perchè tra le varie definizioni di numero possibili non c’è quella che potrebbe soddisfare una persona che non è un matematico di professione, al quale infatti importa ben poco di come venga definito un numero.
La definizione più usuale di numero naturale (dai numeri naturali, per estensione, si costruiscono i numeri interi, razionali, reali e complessi) si trova ancora nella Teoria assiomatica degli insiemi, mediante la costruzione degli interi di Von-Neumann: il numero “zero” denotato con 0 viene definito come l’insieme vuoto ∅; il numero “uno” denotato con 1 viene definito come l’insieme che contiene lo 0, ovvero l’insieme {∅}; il numero “due”, denotato con 2, viene definito come l’insieme {∅,{∅}}, e così via, il numero n è definito quindi come l’insieme {0,1,2,…,n-1}.
La cosa veramente importante è che gli interi di Von-Neumann verificano i 5 assiomi di Peano che stanno alla base della Teoria dei numeri naturali classica. Detto N l’insieme dei numeri naturali, esiste un’applicazione s: N -> N tale che:
- 0 ∈N;
- n ∈N ⇒ s(n) ∈N;
- per ogni n ∈N si ha s(n)≠0;
- s è iniettiva;
- se A ⊆N tale che 0 ∈A e (n ∈A ⇒ s(n)∈A) allora A=N (Principio di induzione).