Salve, vorrei chiedervi perchè nel trovare una superficie di riferimento in Geodesia, ci si basò sul campo gravitazionale che portò poi alla definizione di Geoide. I matematici non potevano definire una geometria approssimata della Terra modellandola su essa senza calcoli di campo di gravità e vettore accelerazione di gravità? Grazie…

Da 150 anni a questa parte ci sono state varie definizioni di geoide: Quella correntemente adottata dal National Geodetic Survey della NASA è:

Geoide: la superficie equipotenziale del campo gravitazionale terrestre che si adatta al meglio, nel senso dei minimi quadrati, al livello medio globale del mare.

Per la rappresentazione matematica del geoide si veda oltre.

In figura è visibile una rappresentazione delle altezze del geoide EGM96 rispetto all’ellissoide GRS80. Il minimo è di -106 m sopra l’oceano indiano, mentre il massimo è di circa 85 metri.

Determinazione della forma della Terra

Da un punto di vista teorico, la determinazione della forma della superficie terrestre ha sempre suscitato l’interesse degli scienziati, a partire da Gauss che nel 1828 descrisse la “figura matematica della Terra”.

In prima approssimazione la Terra può essere considerata sferica, ma è ovvio che per molte applicazioni questa schematizzazione è assolutamente insufficiente, essendovi uno schiacciamento ai poli che fa sì che il raggio polare sia di vari chilometri minore dei raggi equatoriali (6,356.750 km contro 6,378.135 Km, rispettivamente).

Una approssimazione migliore può essere fatta considerando la rotazione terrestre ed il campo potenziale generato dall’unione di rotazione e gravità. In questo modo Clairaut, nel 1743, trovò che la superficie equipotenziale è un ellissoide di rotazione.

Un’approssimazione ancora migliore può essere fatta considerando la Terra di densità variabile con la profondità. La forma di tale superficie, studiata da Darwin (1910), è relativamente poco sensibile alla natura esatta delle variazioni di densità: per una scelta ragionevole di profili della densità, la forma risulta depressa rispetto all’ellissoide, con un massimo di circa 3 m alla latitudine di 45°. Tale figura di equilibrio viene detta sferoide inesatto.

Di fatto, però, si osservano delle anomalie rispetto all’ellissoide ed allo sferoide di non facile spiegazione. Ad esempio, non vi è evidente correlazione con la distribuzione dei continenti ( e questo è indice di buona isostasia a grande scala), e pertanto la figura che viene fuori da queste correzioni non è determinabile analiticamente a priori.
Il geoide si esprime quindi tramite uno sviluppo in armoniche sferiche, con coefficienti determinati dalle variazioni gravimetriche misurate da stazioni a terra o dalle perturbazioni delle orbite dei satelliti.
Il geoide come è stato definito prima, quindi, non può essere determinato solo a prescindere da considerazioni teoriche ma deve essere determinato per mezzo di dati sperimentali.

Bisogna però considerare che da quando la geodesia si è potuta avvalere di strumenti da satellite o aereo, è stato possibile determinare la forma della Terra da semplici misurazioni di altitudine mediante altimetri radar, e laser. Il geoide che si ottiene in questo modo è detto geoide geometrico, in contrapposizione al geoide fisico descritto prima. Studi comparativi (Marsh & Chang, 1979) hanno mostrato un accordo tra i due entro pochi metri.

NOTA: E’ importante ricordare che il geoide coincide (almeno in linea di principio) alla superficie equipotenziale, per cui coincide con il livello del suolo solo sul mare, escludendo correnti marine e maree. Rispetto alle montagne il geoide non dà alcuna informazione, e ciò, come si accennava, è segno di un buon equilibrio isostatico.

Espressione matematica del Geoide

Il campo gravitazionale Newtoniano esterno alla superficie terrestre può essere scritto come soluzione dell’equazione di Laplace nel modo seguente:

ove, ricordiamo, M ed R sono rispettivamente la massa della Terra e il suo raggio equatoriale. Le Pn(cosθ) e Pnm(cosθ) sono rispettivamente funzioni e funzioni associate di Legendre.

I coefficienti Jn danno l’ampiezza delle armoniche zonali di ordine n e i coefficienti Cnm ed Snm danno l’ampiezza delle componenti cosmλ e sinmλ delle armoniche tesserali di ordine n e grado m.
I termini della sommatoria relativa all’indice n non comprendono il termine n = 1 perché l’origine delle coordinate corrisponde col centro di massa. Due coefficienti sono necessari per descrivere una armonica di ordine n e grado m: ai due coefficienti, Cnm e Snm possono essere sostituite una ampiezza Jnm e una fase βnm.

In tal caso il potenziale assume la forma equivalente

Valori delle Jn, Jnm ottenuti dall’analisi delle orbite di satelliti artificiali sono dati nella Tab.1. Di tali coefficienti il J2 è particolarmente importante: esso è esprimibile in funzione dei momenti d’inerzia della Terra come diremo più avanti. J2 vale circa 10-3 mentre gli altri coefficienti sono più piccoli, dell’ordine di 10-6 o meno.

Tab. 1: COEFFICIENTI ARMONICI DEL POTENZIALE GRAVITAZIONALE TERRESTRE. Valori da Kozai (1969), King Hele et al. (1969), Gaposchkin and Lambeck (1970).1082.6

Armoniche zonali

   J x106      J x106 

J2 1082.6 J12  -0.04
J3 -2.54
J13 0
J4 -1.59
J14 -0.07
J5 -0.21 J15 -0.20
J6 0.50 J16 0.19
J7 -0.40 J17 0
J8 -0.12
J18 -0.23
J9 0
J19 0
J10
-0.35
J21 0.26
J11 0


Armoniche tesserali e settoriali

  N
  m
  106 Cnm
  106 Cnm
2 2
2.41 -1.36
3
1
2.0 0.26

2 0.9
-0.6

3 0.7 -1.4
4 1 -0.5 -0.5

2 0.3 0.7

3 -1.0 -0.2

4 -0.08 0.3
5 1 -0.05 -0.1

2 0.6
-0.4

3 -0.4 -0.09

4 -0.3 0.08

5 -0.1 -0.6
6 1 -0.1 0.04

2 0.05
-0.4

3 0.3 0.04

4 0.4

5 0.2 -0.5

6
-0.09 -0.07


Va notato che il calcolo dei vari coefficienti è sempre in via di miglioramento, il che dà luogo a diversi modelli di geoide (vedere http://www.ngs.noaa.gov/GEOID/), e inoltre che per molti scopi pratici è ormai possibile operare direttamente su un grigliato fitto a piacere. Ad esempio MATLAB® contiene il database per operare sul geoide EGM96, ed inoltre all’indirizzo:
http://www.nima.mil/GandG/wgs-84/egm96.html è possibile scaricare i files contenenti le altezze del geoide ad alta risoluzione, utilizzabili dallo stesso MATLAB ed altri programmi di elaborazione dati.


Le semplificazioni del geoide: sferoide ed ellissoide

L’espressione


può sia rappresentare esattamente l’ellissoide di rotazione, sia rappresentare con sufficiente approssimazione uno sferoide inesatto, a partire da una scelta appropriata dei coefficienti e.

Pertanto la Terra può essere approssimativamente considerata come uno sferoide caratterizzato da due semiassi e cioè dal raggio equatoriale e dal raggio polare.

Allo scopo di riferire le misure ad un modello teorico standard, nel 1930 fu adottata la seguente Formula Internazionale per il valore di g al livello del mare:
 


In questo modo si assumeva che la Terra fosse rappresentabile come un ellissoide di schiacciamento f = 1/297, con raggio equatoriale R = 6.378.388 m. Più recentemente (1967), questa formula ha subito dei ritocchi, in quanto un migliore accordo con i dati sperimentali si aveva per uno schiacciamento f = 1/298.25 e per un raggio equatoriale R = 6.378.160 m. La formula di riferimento 1967 è pertanto la seguente: