Cominciamo col chiarire cosa si intende per ottica lineare (e non lineare)
Quando un’onda elettromagnetica, cui è associato un campo elettrico E,
incide su un mezzo ottico, essa induce in esso una polarizzazione P che
dipende dal campo E stesso.
Si può immaginare questo fatto pensando che il mezzo è composto da
cariche elettriche (elettroni e nuclei) sensibili ai campi elettrici;
quando uno di essi lo attraversa, le cariche cominciano a oscillare
seguendo il campo stesso, per cui nel materiale si creano dei dipoli
elettrici oscillanti, che propagano l’onda nel mezzo.
Ora, in generale quando il campo elettrico esterno è piccolo, si può
considerare una semplice proporzionalità tra P ed E, secondo
l’equazione:
P(t)=ε0χE(t)
Dove χ è detta suscettibilità del mezzo. Intuitivamente il
mezzo si deforma proporzionalmente al campo esterno applicato.
Quando questa situazione semplice si verifica, si dice che si è in una
condizione di ottica lineare. Si dimostra che in questo caso le cariche
nel mezzo sentono un potenziale di richiamo con profilo parabolico e
che se l’onda incidente ha frequenza f, tutte le cariche oscillano con
la medesima frequenza.
La situazione di ottica lineare è molto semplice da studiare, perché
gode di alcune proprietà tipiche di tutti i sistemi lineari. Una delle
più utili è il cosiddetto “principio di sovrapposizione delle cause e
degli effetti”, secondo il quale è possibile dividere la causa (l’onda
incidente con campo E) in onde monocromatiche, calcolarne separatamente
gli effetti e poi sommare tutti gli effetti per ottenere il risultato
finale.
Bisogna dire che praticamente in tutte le situazioni “classiche”
l’intensità luminosa usata in ottica è sufficientemente bassa da poter
adottare l’approssimazione lineare, per cui fino all’avvento dei laser
(che possono emettere onde coerenti di grande intensità) non si era mai
messo in luce alcun fenomeno non lineare.
Vediamo cosa sono questi fenomeni non lineari: quando E è molto
intenso, si nota che in realtà la proporzionalità diretta con P non è
esattamente verificata. In tal caso l’equazione precedente va
sostituita con uno sviluppo in serie del tipo:
P(t)=ε0[χ(1)E(t)+χ(2)E2(t)+χ(3)E3(t)+…]
In altre parole la polarizzazione non dipende linearmente dal campo E,
ma ci sono componenti che dipendono dalle potenze superiori. C’è
inoltre da tenere presente che sia P che E sono dei vettori, per cui in
realtà le suscettibilità χ(i) sono in generale dei tensori,
sebbene fortunatamente, di solito, nei mezzi isotropi molte componenti
di questi tensori sono nulle o tutte uguali tra loro.
Quando un mezzo è non lineare, la sua trattazione matematica diventa
molto più complessa, ma si verificano una serie di fenomeni nuovi,
molto interessanti e molti dei quali con una gran quantità di
applicazioni pratiche notevoli.
Vediamone alcune.
Tanto per cominciare non vale il principio di sovrapposizione degli
effetti, per cui se immetto nel mezzo due onde di frequenza f1 ed f2,
all’uscita dal mezzo non troverò più solo due onde di medesima
frequenza, ma in generale parte dell’energia si sarà trasferita su
altre frequenze. Se si considera il solo termine quadratico χ(2)E2(t) si troveranno le frequenze f1 + f2 ed f1 – f2. Questo fenomeno è usato
nei laser per generare la cosiddetta seconda armonica. In altre parole
voglio generare un’onda ad alta frequenza, ma non possiedo un materiale
che mi consenta la generazione diretta, però posso generare un’onda di
frequenza pari alla metà e poi raddoppiarla usando un mezzo non
lineare. Tra l’altro questo fenomeno, sebbene non molto sorprendente se
si considera l’ottica classica, dato che avviene normalmente anche in
elettronica, è piuttosto sorprendente se si considera il fenomeno dal
punto di vista quantistico, perché comporta la contemporanea scomparsa
di due fotoni e la comparsa di un fotone ad essi coerente e di energia
doppia.
Inoltre si instaurano dei fenomeni di “phase matching” per cui, se
immetto nel mezzo due frequenze f1 ed f2, propagandosi nel materiale
l’energia si trasferisce gradualmente verso la frequenza f3 = f1 + f2,
ma raggiunto un massimo si ha un trasferimento inverso, per cui dopo un
certo cammino si ottengono nuovamente le due frequenze di partenza.
Un altro fenomeno molto interessante, per via delle sue applicazioni
pratiche, è l’effetto Pockels: in pratica se una delle onde immesse nel
sistema ha frequenza molto più bassa di quelle tipiche della banda
ottica, il suo effetto è quello di provocare una modulazione
dell’indice di rifrazione del mezzo per le altre onde che lo
attraversano. Su questo principio funzionano i modulatori
elettro-ottici di ampiezza e di fase, in cui il campo elettrico
modulante è impresso da un circuito elettronico.
Per quanto riguarda la propagazione nelle fibre ottiche, i fenomeni più
rilevanti sono quelli che si instaurano a causa delle non linearità del
terzo ordine, quelle cioè legate al termine cubico χ(3)E3(t).
Uno di questi fenomeni, largamente usato in telecomunicazioni, è
l’effetto Kerr ottico. In base a questo fenomeno, in pratica, l’indice
di rifrazione del mezzo cresce proporzionalmente all’intensità
luminosa, ed è in grado di compensare gli effetti dispersivi del mezzo
di propagazione. Quello che si ottiene sono le cosiddette “onde
solitoniche”, o “solitoni” che sono in pratica degli impulsi molto
intensi di luce che si propagano lungo le fibre ottiche senza
disperdersi. Essi sono estremamente utili perché consentono di ridurre
notevolmente in numero di rigeneratori del segnale lungo la fibra, dato
che il segnale praticamente non si degrada propagandosi.
Un altro fenomeno altrettanto importante è la cosiddetta
auto-focalizzazione dell’onda: un impulso laser in una fibra ottica ha
un profilo di intensità circa gaussiano, per cui si ha la massima
intensità luminosa lungo l’asse della fibra, mentre essa decresce
vicino ai bordi. Una fibra ottica “normale” richiede di essere formata
da due strati, con indici di diffrazione diverso, in cui quello esterno
è minore di quello interno, in modo che all’interfaccia si abbia
riflessione totale dell’onda, che rimane così confinata all’interno del
mezzo. In presenza di effetto Kerr, però, il mantello della fibra non è
necessario, dato che è l’impulso luminoso stesso a modulare l’indice di
rifrazione della fibra, rendendolo maggiore al centro e minore ai bordi
e auto-focalizzandosi al centro.
Per finire, un fenomeno che è diventato di importanza fondamentale
negli ultimi anni è quello dell’auto-modulazione di fase, che viene
utilizzato per generare gli impulsi laser ultracorti. In pratica un
impulso laser monocromatico molto intenso che entra in una fibra ottica
opportuna subisce un’auto modulazione della propria fase, in modo che
il suo spettro di luce si allarga, diventando molto ampio, ma nel
contempo la fase delle sue componenti si combina in modo che l’impulso
risultante all’uscita ha una durata temporale molto minore.