Vorrei sapere il significato della funzione di autocorrelazione. In altre parole vorrei capire perché è comodo esprimere un segnale in questa determinata forma. Mi basterebe capire il senso generale ed eventualmente approfondire i dettagli per mio conto. La ringrazio

Le funzioni di correlazione sono molto importanti nelle elaborazioni dei segnali specie se casuali.
La funzione è detta di correlazione, quando fornisce la misura di quanto due segnali hanno proprietà comuni, si assomigliano, in funzione di un loro ritardo reciproco nel tempo. Ad esempio alla presenza di segnali di rumore senza alcuna periodicità la correlazione dà un’indicazione diretta del tempo di ritardo tra i due segnali.
La funzione è detta d’autocorrelazione, quando fornisce una misura di quanto un segnale si assomigli, si correli, ha proprietà comuni con se stesso ritardato di un tempo tau.(senza ritardo il segnale è sempre lo stesso)
Questo è quello che possiamo dire in linea generale per tutti i segnali.
Per passare ora alla definizione analitica dell’autocorrelazione e voler comprendere l’utilità è necessario definire se parliamo d’applicazioni di segnali deterministici o aleatori. I metodi matematici d’esposizione e le utilità sono differenti.
Un segnale si dice determinato, quando si conosce perfettamente l’andamento, si studiano con i metodi classici dell’analisi matematica e fa parte della Teoria dei segnali determinati1.
I segnali aleatori o casuali sono caratterizzati da proprietà statistiche, ad esempio la probabilità che in certo istante t le ampiezze istantanee sono inferiori ad un valore prefissato oppure la probabilità congiunta che in t è inferiore ad un valore ed in t1 sono inferiori ad un altro valore. La conoscenza di tutte le probabilità costituiscono un processo stocastico. I segnali aleatori si studiano con i metodi della teoria della probabilità e fa parte della Teoria statitistica delle Comunicazioni.
A loro volta i segnali si dividono in classi, per le quali si devono adottare definizioni di correlazioni e notazioni differenti.
Abbiamo sia per i segnali determinati che casuali:
  • Continui d’ energia
  • Continui di potenza
  • Discreti d’energia
  • Discreti di potenza
Di solito, le correlazioni sono operazioni che si fanno su grandezze aleatorie dove assumono un significato statitistico. Per segnali determinati il risultato dell’autocorrelazione fornisce solo il contenuto energetico del segnale.
L’autocorrelazione per segnali determinati può essere definita come la convoluzione2 di x(t) con x* (-t) dove la variabile t è continua o discreta (t=nT).
Per la convoluzione si deve adottare la definizione appropriata distinguendo i quattro casi elencati
La definizione analitica, il risultato dell’operazione al variare di tau per segnali determinati continui d’energia e potenza sono esposti chiaramente nel seguente sito didattico per studenti della prof.ssa Panno.
E’ evidente che l’autocorrelazione sui segnali periodici non ha un applicazione pratica, poiché un segnale sinusoidale è sempre identico alla sua replica ritardata di un multiplo intero di periodo T.
Segnali aleatori
L’autocorrelazione per i segnali casuali è molto importante, poiché ci fornisce una misura della regolarità del processo. Ritardando un segnale, che contiene numerose componenti di disturbo, possiamo verificare se esistono delle periodicità.
Mentre la densità di probabilità contiene l’informazione relativa alle variazioni d’ampiezza del processo, l’autocorrelazione contiene l’informazione relativa alle variazioni sull’asse dei tempi.
Spesso è interessante determinare la funzione dell’autocorrelazione di una funzione x(t) di un processo casuale ergodico, di un segnale desiderato s(t) e di una componente di rumore non voluta.
Quindi un’applicazione è la determinazione di segnali periodici presenti in una forma d’onda arbitraria.
Come esempio, tramite mathcad, ho calcolato la funzione d’autocorrelazione di un segnale transitorio (energia finita) immerso nel rumore.
Si osserva che La funzione d’autocorrelazione ottenuta ci fornisce il segnale voluto pulito dal rumore.
Se lo scopo era solo eliminare il rumore lo stesso risultato, si poteva ottenere operando nel dominio delle frequenze tramite un filtro passa-passo.
Talvolta, nei DSP, è comodo operare nel dominio del tempo e talvolta nel dominio delle frequenze.
Nel caso di caratteristiche di rumore a larga banda, la funzione d’autocorrelazione può dare un’informazione sulla larghezza di banda del segnale. Nel campo acustico per la rivelazione d’echi in un segnale ,dove la misura dell’intensità è associata ad un valore di ritardo.
Infine sia per i segnali determinati che casuali è importantissimo sapere che la densità spettrale3 di un segnale è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione.
Negli anni sessanta si otteneva la visualizzazione della densità spettrale di un segnale tramite strumentazione analogica, trasformando il risultato dall’operazione di convoluzione in un prodotto nel dominio della frequenza.
Questa procedura fu largamente usata per ottenere la potenza spettrale secondo le normali tecniche,ma con l’avvento della FFT4 la situazione si è capovolta e la funzione di autocorrelazione può essere ottenuta più rapidamente dalla trasformazione inversa dello spettro di potenza.
La trasformata inversa di uno spettro di potenza rappresenta l’autocorrelazione del segnale.
Note
1) Fino agli anni cinquanta, lo studio ed il progetto di un sistema di comunicazioni era impostato sull’analisi della risposta di segnali deterministici tipo: sinusoide, gradino, onda quadra ecc. ( come si fa ora in elettronica per testare i quadripoli).
I segnali che intervengono su un sistema di telecomunicazioni, non sono noti a priori e quindi sono da considerarsi sempre aleatori. In pratica sia i segnali che i disturbi ricevuti non sono mai prevedibili. Per fortuna che presentano delle proprietà statistiche regolari, quali ad esempio, la potenza media, la distribuzione delle potenze istantanee delle ampiezze e la distribuzione della potenza alle varie frequenze ecc.
Secondo la teoria di Shannon, il nome segnale dovrebbe essere riservato solo ai segnali aleatori.
2) La convoluzione è una delle più importanti operazioni che s’incontrano nello studio dei segnali . Per ogni classe di segnale si devono adottare definizioni diverse.
L’interpretazione grafica dell’operazione di convoluzione è illustrata nel sito
3)La densità spettrale è una funzione che esprime la potenza media di una forma d’onda in funzione della frequenza.
4) FFT, Fast Fourier Trasformer. Un algoritmo che permette di ridurre di migliaia di volte le elaborazioni di una classica FT. Esigenze sorte alla fine degli anni sessanta per sopperire ai lunghissimi tempi di calcolo.