Vorrei sapere cosa vuol dire “discretizzare un’equazione”.

Discretizzare un’equazione significa approssimare i valori di un equazione, a intervalli arbitrariamente piccoli, in base alle necessità.
I valori possibili delle variabili in una equazione sono infiniti, normalmente ci si muove nell’insieme dei numeri reali, ma gli infiniti in qualunque campo non sono molto adatti alle applicazioni pratiche, cosa che invece quasi sempre è la cosa che più interessa. Per aggirare il problema si ricorre al calcolo differenziale, ossia si esprimono le stesse equazioni in termini di intervalli e nei punti critici dove le equazioni assumono valori o troppo grandi (+infinito) o troppo piccoli (-infinito), si ricorre ai limiti(in senso matematico), che semplificando significa calcolare l’equazione nelle vicinanze dei punti critici, fintanto che si possono ottenere valori ragionevoli.

L’applicazione principale delle tecniche di discretizzazione delle equazioni è per il calcolo degli integrali, per le derivate esistono delle tecniche di elaborazione simbolica che hanno già da tempo permesso la realizzazione di programmi per lo scopo.
Ma per gli integrali le cose si complicano, dato che non sono altrettanto “meccanici” come le derivate. Per superare il problema si è ricorsi al vero significato dell’operazione di integrazione, in particolare di integrazione in un intervallo predefinito. L’integrazione non è altro che il calcolo dell’area della regione delimitata da due rette verticali, l’asse X e il diagramma che l’equazione rappresenta o, più in generale, della regione chiusa di piano delimitata da due o più diagrammi. Per cui come accennato in precedenza si calcolano un certo numero di valori dell’equazione suddividendo l’intervallo di integrazione; in questo modo si può approssimare l’area del grafico calcolando le aree dei rettangoli ottenibili da ogni intervallo (dx*f(x0)) e sommandoli tra loro.

Questa ovviamente è una approssimazione molto grossolana, e che per ottenere valori attendibili necessita di intervalli molto piccoli. Esistono metodi più sofisticati che permettono, a parità di precisione, l’uso di un numero molto minore di intervalli, ma che per contro complicano molto di più il calcolo delle singole aree, come per esempio l’uso di trapezi al posto dei rettangoli, o l’uso di figure ancora più complesse.

Questi naturalmente sono semplici esempi e per una trattazione più esauriente si rimanda a testi specifici.