Premetto che non sono un matematico, ma solo un amatore e quindi perdonatemi le stupidaggini. Recentemente ho avuto modo di leggere un libretto sulle probabilità di vincita nei vari giochi : in particolare sul Super-Enalotto. Per quanto riguarda il sei i conti tornano con quelli che faccio io, ma per gli altri ci sono dei problemi. Per il sei 1. $\displaystyle P(6)= \frac{6!}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85} = \frac{1}{622614630}$ e qui i conti tornano. 2. Per il cinque \begin{displaymath}\begin{split} P(5) & = \frac{\mbox{Numero di cinquine con se… …t 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}=\frac{1}{7324878} \end{split}\end{displaymath} e qui non ci siamo. Ovviamente applicando lo stesso metodo non mi trovo con i quattro e i tre. Per quanto riguarda invece il 5+1 ho fatto un ragionamento non molto elegante ma il risultato coincide. Io ho ragionato nel seguente modo chi fa 5+1 deve aver sbagliato un numero della sestina e imbroccato il jolly poiché i numeri sono 6 le possibilità di errore sono 6 quindi $\displaystyle P(5+1)=\frac{6}{622614630} = \frac{1}{103769105}.$ Non è elegante, ma coincide è un caso oppure c’è un metodo matematicamente più elegante?

Per
il sei

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img1.gif”/>

e
qui i conti tornano.
Per
il cinque

$egin{displaymath}egin{split} P(5) & = frac{mbox{Numero di cinquine con se... ...t 89 cdot 88 cdot 87 cdot 86}=frac{1}{7324878} end{split}end{displaymath}$

e
qui non ci siamo.

Ovviamente
applicando lo stesso metodo non mi trovo con i quattro e i tre. Per quanto
riguarda invece il 5+1 ho fatto un ragionamento non molto elegante ma il
risultato coincide. Io ho ragionato nel seguente modo chi fa 5+1 deve aver
sbagliato un numero della sestina e imbroccato il jolly poiché i numeri
sono 6 le possibilità di errore sono 6 quindi

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img3.gif”/>

Non
è elegante, ma coincide è un caso oppure c’è un metodo
matematicamente più elegante?

(risponde
Alessandro Duci)

Per calcolare
la probabilità di vincita nei vari casi si può semplicemente
valutare la seguente frazione :

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img4.gif”/>

Di seguito analizzo
le varie possibilità.

( 6)

Per fare
6 bisogna indivinate 6 numeri su 6 estratti, quindi c’è un solo
caso favorevole, mentre i casi totali sono tutte le possibili sestine
che si possono ottenere con 90 numeri. Quindi il risultato è

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img5.gif”/>

Nota:
ho usato il simbolo $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img6.gif”/> per indicare il numero di modi di estrarre indipendentemente
dall’ordine $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img7.gif”/> elementi da un insieme di $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img8.gif”/> elementi. Per calcolarlo si può utilizzare la seguente formula:

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img9.gif”/>

Per
esempio nel caso delle sestine ottenute estraendo dall’insieme dei primi
90 numeri si ottiene che il loro numero è $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img10.gif”/>.

( 5+1)

I casi
favorevoli al $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img11.gif”/> sono 6, infatti sono dati dalle sestine formate da 5 dei miei numeri
e dal numero jolly, quindi basta calcolare quante cinquine riesco a
produrre con i miei sei numeri, da cui

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img12.gif”/>

( 5)

Per calcolare
il numero di casi favorevoli al 5 si può ragionare nel seguente
modo: una sestina è a me favorevole se contiene 5 numeri della
mia sestina e un altro numero a piacere, quindi devo moltiplicare il
numero delle cinquine che posso formare con i miei sei numeri giocati
per il numero di modi che ho di sbagliare il sesto, ossia $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img13.gif”/>. Quindi

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img14.gif”/>

Questo caso
ha bisogno di una piccola precisazione: se vogliamo la probabilità
di fare 5 e non $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img11.gif”/> bisogna sottrarre al numero dei casi favorevoli il numero di casi
in cui si ha il $<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img11.gif”/>, quindi il valore della probabilità del 5 puro è

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img15.gif”/>

( 4,3)

Nel caso
del 4 e del 3 si ragiona in modo analogo al 5 e si ottiene che il numero
dei casi favorevoli è dato dal numero delle quaterne (risp. terne)
che posso formare con i miei 6 numeri giocati moltiplicato con il numero
di modi che ho di sbagliare 2 (risp. 3) numeri che è dato dal numero
di modi di estrarre 2 (risp. 3) numeri tre gli 86 (risp. 87) rimasti.
Quindi

$<img decoding=$ ” src=”../../esperti/mat/se/img16.gif”/>

mentre

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