Premetto che non sono un matematico, ma solo un amatore e quindi perdonatemi le stupidaggini. Recentemente ho avuto modo di leggere un libretto sulle probabilità di vincita nei vari giochi : in particolare sul Super-Enalotto. Per quanto riguarda il sei i conti tornano con quelli che faccio io, ma per gli altri ci sono dei problemi. Per il sei 1. $\displaystyle P(6)= \frac{6!}{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86 \cdot 85} = \frac{1}{622614630}$ e qui i conti tornano. 2. Per il cinque \begin{displaymath}\begin{split} P(5) & = \frac{\mbox{Numero di cinquine con se… …t 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}=\frac{1}{7324878} \end{split}\end{displaymath} e qui non ci siamo. Ovviamente applicando lo stesso metodo non mi trovo con i quattro e i tre. Per quanto riguarda invece il 5+1 ho fatto un ragionamento non molto elegante ma il risultato coincide. Io ho ragionato nel seguente modo chi fa 5+1 deve aver sbagliato un numero della sestina e imbroccato il jolly poiché i numeri sono 6 le possibilità di errore sono 6 quindi $\displaystyle P(5+1)=\frac{6}{622614630} = \frac{1}{103769105}.$ Non è elegante, ma coincide è un caso oppure c’è un metodo matematicamente più elegante?

Per
il sei

  1. $displaystyle P(6)= frac{6!}{90 cdot 89 cdot 88 cdot 87 cdot 86 cdot 85} = frac{1}{622614630}$

    e
    qui i conti tornano.

  2. Per
    il cinque

    egin{displaymath}egin{split}
 P(5) & = frac{mbox{Numero di cinquine con se...
...t 89 cdot 88 cdot 87 cdot 86}=frac{1}{7324878}
 end{split}end{displaymath}



    e
    qui non ci siamo.

Ovviamente
applicando lo stesso metodo non mi trovo con i quattro e i tre. Per quanto
riguarda invece il 5+1 ho fatto un ragionamento non molto elegante ma il
risultato coincide. Io ho ragionato nel seguente modo chi fa 5+1 deve aver
sbagliato un numero della sestina e imbroccato il jolly poiché i numeri
sono 6 le possibilità di errore sono 6 quindi

$displaystyle P(5+1)=frac{6}{622614630} = frac{1}{103769105}.$

Non
è elegante, ma coincide è un caso oppure c’è un metodo
matematicamente più elegante?

(risponde
Alessandro Duci)

Per calcolare
la probabilità di vincita nei vari casi si può semplicemente
valutare la seguente frazione :

$displaystyle P = frac{mbox{Numero di casi favorevoli}}{mbox{Numero di casi totali}}.$

Di seguito analizzo
le varie possibilità.

( 6)
Per fare
6 bisogna indivinate 6 numeri su 6 estratti, quindi c’è un solo
caso favorevole, mentre i casi totali sono tutte le possibili sestine
che si possono ottenere con 90 numeri. Quindi il risultato è

$displaystyle P(6) = frac{1}{inom{90}{6}} = frac{1}{622614630}.$

Nota:
ho usato il simbolo $ inom{n}{k}$ per indicare il numero di modi di estrarre indipendentemente
dall’ordine $ k$ elementi da un insieme di $ n$ elementi. Per calcolarlo si può utilizzare la seguente formula:

$displaystyle inom{n}{k}= frac{n!}{k! ( n-k)!}.$

Per
esempio nel caso delle sestine ottenute estraendo dall’insieme dei primi
90 numeri si ottiene che il loro numero è $ inom{90}{6} = 622614630$.

( 5+1)
I casi
favorevoli al $ 5+1$ sono 6, infatti sono dati dalle sestine formate da 5 dei miei numeri
e dal numero jolly, quindi basta calcolare quante cinquine riesco a
produrre con i miei sei numeri, da cui

$displaystyle P(5+1) = frac{inom{6}{5}}{inom{90}{6}} = frac{6}{622614630} = frac{1}{103769105}.$
( 5)
Per calcolare
il numero di casi favorevoli al 5 si può ragionare nel seguente
modo: una sestina è a me favorevole se contiene 5 numeri della
mia sestina e un altro numero a piacere, quindi devo moltiplicare il
numero delle cinquine che posso formare con i miei sei numeri giocati
per il numero di modi che ho di sbagliare il sesto, ossia $ inom{6}{5} cdot 85$. Quindi

$displaystyle P(5) = frac{inom{6}{5} cdot 85}{inom{90}{6}} = frac{6 cdot 85 }{622614630} = frac{1}{1220813}.$

Questo caso
ha bisogno di una piccola precisazione: se vogliamo la probabilità
di fare 5 e non $ 5+1$ bisogna sottrarre al numero dei casi favorevoli il numero di casi
in cui si ha il $ 5+1$, quindi il valore della probabilità del 5 puro è

$displaystyle P(5) = frac{inom{6}{5} cdot 85-6}{inom{90}{6}} = frac{6 cdot 85 - 6}{622614630} = frac{84}{103769105}.$
( 4,3)
Nel caso
del 4 e del 3 si ragiona in modo analogo al 5 e si ottiene che il numero
dei casi favorevoli è dato dal numero delle quaterne (risp. terne)
che posso formare con i miei 6 numeri giocati moltiplicato con il numero
di modi che ho di sbagliare 2 (risp. 3) numeri che è dato dal numero
di modi di estrarre 2 (risp. 3) numeri tre gli 86 (risp. 87) rimasti.
Quindi

$displaystyle P(4) = frac{inom{6}{4} cdot inom{86}{2}}{inom{90}{6}} =
frac{15 cdot 3655 }{622614630} = frac{5}{56782};$

mentre

$displaystyle P(4) = frac{inom{6}{3} cdot inom{87}{3}}{inom{90}{6}} =
frac{20 cdot 105995}{622614630} = frac{10}{2937}.$