Sono un ragazzo di 14 anni grande appassionato di matematica. I miei studi autodidattici mi hanno permesso di capire che la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco richiede una buona conoscenza sul calcolo integrale. Le chiedo la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco.

La dimostrazione dell’irrazionalità di $<img src=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> è piuttosto facile per chiunque ha studiato un po’ di calcolo.
Chiaramente per un ragazzo di 14 anni può essere difficile. Il mio
consiglio è di avere un po’ di pazienza ed aspettare di aver studiato
almeno qualcosa riguardo a derivate ed integrali prima di voler leggere
questa dimostrazione. Puoi trovare quanto ti serve nel capitolo $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img2.gif”/> del libro

“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert
Robbins,
Bollati Boringhieri Editore.

La dimostrazione che ti propongo si trova invece nel capitolo 17 del
libro

“Introduction to Number Theory” di Hua Loo Keng,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982

Teorema il numero $<img src=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> è irrazionale.

Dimostrazione. (Niven) Supponiamo per assurdo che $<img src=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> sia razionale, quindi $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img4.gif”/>, con $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img5.gif”/> due numeri naturali. Definiamo le seguenti funzioni

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img6.gif”/>

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img7.gif”/>

Osserviamo subito che sia $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img8.gif”/> sia le sue derivate sono numeri interi quando $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img9.gif”/> o $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img10.gif”/>, quindi anche $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img11.gif”/> e $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img12.gif”/> sono due numeri interi. Con semplici calcoli si verifica che
vale l’ugualianza

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img13.gif”/>

dunque

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img14.gif”/>

(1)

è un numero intero. Ma, per $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img15.gif”/> e per $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img16.gif”/> sufficientemente grande, vale la seguente limitazione

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img17.gif”/>

quindi

$<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img18.gif”/>

e dunque dalla (1) segue che $<img loading=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img19.gif”/> non può essere un numero intero. La contraddizione
nasce dal fatto di aver supposto $<img src=$ ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> razionale, quindi la tesi è dimostrata.