La dimostrazione dell’irrazionalità di è piuttosto facile per chiunque ha studiato un po’ di calcolo.
Chiaramente per un ragazzo di 14 anni può essere difficile. Il mio
consiglio è di avere un po’ di pazienza ed aspettare di aver studiato
almeno qualcosa riguardo a derivate ed integrali prima di voler leggere
questa dimostrazione. Puoi trovare quanto ti serve nel capitolo del libro
“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert
Robbins,
Bollati Boringhieri Editore.
La dimostrazione che ti propongo si trova invece nel capitolo 17 del
libro
“Introduction to Number Theory” di Hua Loo Keng,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982
Teorema il numero è irrazionale.




e

Osserviamo subito che sia sia le sue derivate sono numeri interi quando
o
, quindi anche
e
sono due numeri interi. Con semplici calcoli si verifica che
vale l’ugualianza

dunque
è un numero intero. Ma, per e per
sufficientemente grande, vale la seguente limitazione

quindi

e dunque dalla (1) segue che non può essere un numero intero. La contraddizione
nasce dal fatto di aver supposto razionale, quindi la tesi è dimostrata.