Sono un ragazzo di 14 anni grande appassionato di matematica. I miei studi autodidattici mi hanno permesso di capire che la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco richiede una buona conoscenza sul calcolo integrale. Le chiedo la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco.

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La dimostrazione dell’irrazionalità di $ pi$ è piuttosto facile per chiunque ha studiato un po’ di calcolo.
Chiaramente per un ragazzo di 14 anni può essere difficile. Il mio
consiglio è di avere un po’ di pazienza ed aspettare di aver studiato
almeno qualcosa riguardo a derivate ed integrali prima di voler leggere
questa dimostrazione. Puoi trovare quanto ti serve nel capitolo $ VIII$ del libro

“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert
Robbins,
Bollati Boringhieri Editore.

 

La dimostrazione che ti propongo si trova invece nel capitolo 17 del
libro

“Introduction to Number Theory” di Hua Loo Keng,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982

Teorema il numero $ pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. (Niven) Supponiamo per assurdo che $ pi$ sia razionale, quindi $ pi = a/b$, con $ a,b$ due numeri naturali. Definiamo le seguenti funzioni

$displaystyle f(x) := frac{x^n (a - b x)^n}{n!}$

e

$displaystyle F(x) := f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - ldots + (-1)^n f^{(2n)}(x).$

Osserviamo subito che sia $ f(x)$ sia le sue derivate sono numeri interi quando $ x=0$ o $ x=pi$, quindi anche $ F(0)$ e $ F(pi)$ sono due numeri interi. Con semplici calcoli si verifica che
vale l’ugualianza

$displaystyle f(x) sin(x) = frac{d}{d x}left( F'(x) sin(x) - F(x) cos(x) ight),$

dunque


è un numero intero. Ma, per $ 0<x<pi$ e per $ n$ sufficientemente grande, vale la seguente limitazione

$displaystyle 0 < f(x) sin(x) < frac{pi^n a^n}{n!} < frac{1}{pi},$

quindi

$displaystyle 0<int_0^pi{f(x) sin(x) d,x}<1$

e dunque dalla (1) segue che $ F(pi)-F(0)$ non può essere un numero intero. La contraddizione
nasce dal fatto di aver supposto $ pi$ razionale, quindi la tesi è dimostrata.