Sono un ragazzo di 14 anni grande appassionato di matematica. I miei studi autodidattici mi hanno permesso di capire che la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco richiede una buona conoscenza sul calcolo integrale. Le chiedo la dimostrazione dell’irrazionalità di pigreco.

La dimostrazione dell’irrazionalità di $ pi$ è piuttosto facile per chiunque ha studiato un po’ di calcolo.
Chiaramente per un ragazzo di 14 anni può essere difficile. Il mio
consiglio è di avere un po’ di pazienza ed aspettare di aver studiato
almeno qualcosa riguardo a derivate ed integrali prima di voler leggere
questa dimostrazione. Puoi trovare quanto ti serve nel capitolo $ VIII$ del libro

“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert
Robbins,

Bollati Boringhieri Editore.

 

La dimostrazione che ti propongo si trova invece nel capitolo 17 del
libro

Introduction to Number Theory” di Hua Loo Keng,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982

Teorema il numero $ pi$ è irrazionale.

Dimostrazione. (Niven) Supponiamo per assurdo che $ pi$ sia razionale, quindi $ pi = a/b$, con $ a,b$ due numeri naturali. Definiamo le seguenti funzioni

$displaystyle f(x) := frac{x^n (a - b x)^n}{n!}$

e

$displaystyle F(x) := f(x) - f^{(2)}(x) + f^{(4)}(x) - ldots + (-1)^n f^{(2n)}(x).$

Osserviamo subito che sia $ f(x)$ sia le sue derivate sono numeri interi quando $ x=0$ o $ x=pi$, quindi anche $ F(0)$ e $ F(pi)$ sono due numeri interi. Con semplici calcoli si verifica che
vale l’ugualianza

$displaystyle f(x) sin(x) = frac{d}{d x}left( F'(x) sin(x) - F(x) cos(x) 
ight),$

dunque


è un numero intero. Ma, per $ 0<x<pi$ e per $ n$ sufficientemente grande, vale la seguente limitazione

$displaystyle 0 < f(x) sin(x) < frac{pi^n a^n}{n!} < frac{1}{pi},$

quindi

$displaystyle 0<int_0^pi{f(x) sin(x) d,x}<1$

e dunque dalla (1) segue che $ F(pi)-F(0)$ non può essere un numero intero. La contraddizione
nasce dal fatto di aver supposto $ pi$ razionale, quindi la tesi è dimostrata.