La dimostrazione dell’irrazionalità di ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> è piuttosto facile per chiunque ha studiato un po’ di calcolo.
Chiaramente per un ragazzo di 14 anni può essere difficile. Il mio
consiglio è di avere un po’ di pazienza ed aspettare di aver studiato
almeno qualcosa riguardo a derivate ed integrali prima di voler leggere
questa dimostrazione. Puoi trovare quanto ti serve nel capitolo ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img2.gif”/> del libro
“Che cos’è la matematica?” di Richard Courant e Herbert
Robbins,
Bollati Boringhieri Editore.
La dimostrazione che ti propongo si trova invece nel capitolo 17 del
libro
“Introduction to Number Theory” di Hua Loo Keng,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982
Teorema il numero ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> è irrazionale.
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e
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Osserviamo subito che sia ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img8.gif”/> sia le sue derivate sono numeri interi quando
” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img9.gif”/> o
” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img10.gif”/>, quindi anche
” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img11.gif”/> e
” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img12.gif”/> sono due numeri interi. Con semplici calcoli si verifica che
vale l’ugualianza
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dunque
è un numero intero. Ma, per ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img15.gif”/> e per
” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img16.gif”/> sufficientemente grande, vale la seguente limitazione
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quindi
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e dunque dalla (1) segue che ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img19.gif”/> non può essere un numero intero. La contraddizione
nasce dal fatto di aver supposto ” src=”../../esperti/mat/pi-greco/img1.gif”/> razionale, quindi la tesi è dimostrata.