Vorrei sapere che cosa rappresenta il numero “e” in matematica. So che ha a che fare in qualche modo con i logaritmi, e so che la calcolatrice esegue il logaritma naturale in base e, ma non so perché. Come è definito? E’ il risultato di qualche cosa? A che cosa serve? Ha delle applicazioni in matematica? E in fisica? Grazie tante. Studente di quasi seconda superiore.


Il numero di Eulero è definito dal seguente limite:

$displaystyle e := lim_{n 	o infty} left( 1 + frac1{n} 
ight)^n.$
L’espressione
scritta sopra sta a significare che $ e$ è il numero al quale si avvicina sempre di più l’espresione
$displaystyle left( 1 + frac1{n} 
ight)^n$
quando $ n$ diventa un numero molto grande. La seguente tabella chiarirà
meglio cosa si intende per “avvicinarsi” e diventare un numero “molto
grande”.
n $ left( 1 + frac1{n} 
ight)^n$
1 2
10 2.5937424601
100 2.7048138294
1000 2.7169239322
10000 2.7181459268
100000 2.7182682371
La prima cosa
che ci si chiede è perché questo numero all’apparenza innocuo
è così importante. Prima di rispondere a questa domanda è
però indispensabile spiegare cos’è la funzione esponenziale. Fissato
un numero positivo $ b$, che viene detto base, si definisce funzione esponenziale di
base
$ b$ la regola che associa ad un numero $ x$ il numero $ b^x$, in simboli
$displaystyle exp_b : Re 	o Re^+ : x mapsto b^x.$
La particolarità
del numero $ e$ nasce dal fatto che quando è usato come base per la funzione
esponenziale (quando cioè si considera la funzione $ e^x$) la pendenza della retta tangente al suo grafico nel punto $ x$ vale proprio $ e^x$. In simboli questo si scrive
$displaystyle frac{d}{dx} e^x = e^x.$
Se invece si
considera la funzione esponenziale con un’altra base, per esempio $ b=2$ la pendenza della retta tangente è data dalla seguente formula:
$displaystyle frac{d}{dx} 2^x = 2^x log_e(2).$
Il numero $ e$ risulta quindi essere molto comodo quando si ha a che fare con gli
esponenziali o con il loro inverso: i logaritmi. Gli sviluppi della matematica
hanno evidenziato come la funzione esponenziale rappresentata da $ e^x$ sia essenziale per il calcolo matematico. Di seguito scrivo alcune
delle relazioni note che caratterizzano questa funzione:
  1. $ log_e e^x = x$, $ e^{log_e(x)} = x$;
  2. $ e^{x+y} = e^x cdot e^y$;
  3. $ left({e^x}
ight)^y = e^{x cdot y}$;
  4. $ e^x = 1 + x + frac{1}{2!}x^2 + frac{1}{3!}x^3 + frac{1}{4!}x^4+ ldots$,
    con $ n!= 1 cdot 2 cdot 3 cdot ldots cdot n$;
  5. $ e^{it} = cos(t) + i sin(t)$, con $ i = sqrt{-1}$;
  6. $ frac{d}{dx} e^x = e^x$;
  7. $ int{e^x d, x} = e^x + c$.
Ora che ti ho
descritto brevemente cosa è il numero $ e$ provo ad accennarti altrettanto brevemente a cosa serve, dico brevemente
perché basta aprire un qualsiasi testo di fisica, chimica, o qualsiasi
altra disciplina scientifica per trovarselo di fronte. In fisica viene utilizzata
per rappresentare le correnti presenti nei circuiti elettronici, per descrivere
le onde elettromagnetiche grazie alla proprietà (5), si usa per descrivere
il decadimento radioattivo. In biologia la si può trovare nello studio
della crescita delle popolazioni, in chimica ci si imbatte nei logaritmi
in base $ e$ quando si ha a che fare con le concentrazioni, in informatica con
la complessità degli algoritmi, con il filtraggio dei segnali, in matematica
la si utilizza in tutti i modi e in tutte le salse, ad esempio la si può
trovare con un esponente che non è un numero. È un po’ come chiedersi
che cosa è la somma e a cosa serve in matematica, fisica o chimica:
è una delle operazioni fondamentali e la si ritrova in gran parte dei
calcoli.