Complimenti ai giovani lettori !
Aver identificato per via empirica una proprietà algebrica
sicuramente difficile da ricavare per calcolo è un lavoro decisamente
degno di nota.
La proprietà identificata dai ragazzi è la seguente.
Sia x un numero intero qualsiasi, ed a, b,
c interi compresi tra zero e nove, se il numero B = (10a+b)
è divisore di A = (10x+c), vuol dire che esiste il quoziente n
tale che
(10x+c) = n (10a+b)
se ciò accade, allora il numero xb-ca è multiplo
di (10a+b).
Esiste, quindi, un quoziente m tale che:
xb-ca =
m(10a+b)
e, cosa più interessante, m<n.
Il che vuol dire che il procedimento può essere reiterato
fino a che xb-ca=10a+b oppure xb-ca=0, nel caso che A
sia multiplo di B o xb-ca<10a+b nel caso A non
sia multiplo di B.
La dimostrazione algebrica di questo fatto è piuttosto
artificiosa e non merita particolare attenzione, per via del numero enorme
di passaggi che necessita.
Il procedimento ricavato è una generalizzazione del
criterio di divisibilità per 11.
Il criterio si basa sulla scomposizione di un numero
in somme di prodotti di multipli di 11 più un fattore resto. La parte
somma di prodotti di multipli di 11 è sicuramente divisibile per 11, quindi,
se anche il resto è divisibile, lo è tutta la cifra. Il procedimento ricavato
dai ragazzi si incentra proprio sul fattore resto, dato dal termine ca/(10a+b),
un rapporto sempre minore di 1. Sottraendo, infatti, il termine ca
da xb, se A è multiplo di B si ottiene di nuovo
un multiplo di B, ma stavolta minore del precedente.
Il procedimento non può essere definito criterio, nel
senso proprio, essendo una proprietà algebrica. Un criterio è, piuttosto,
una proprietà di semplice verifica. Si osservi che, in termini strettamente
computazionali, il procedimento è addirittura svantaggioso. Per verificare
la divisibilità di due numeri occorrono, infatti, due moltiplicazioni
ed una sottrazione.
Ancora complimenti per il brillante lavoro svolto.