Vorrei chiarimenti sulle vibrazioni di una membrana. -Membrana circolare ideale (bloccata sulla circonferenza esterna,con una tensione superficiale costante,nessuna perdita di energia dovuta ad attriti interni,nessuna forza di gravità e nessuna resistenza dell’aria). -Mi pare d’aver capito che la membrana può vibrare in diversi modi detti “normali”.Questi modi sono definiti da una notazione del tipo”Modo(m,n)” in cui “m” rappresenta il numero dei “nodal diameters” ed”n” quello dei “nodal circles” e che qualora la membrana fosse percossa in un qualsiasi punto la vibrazione risultante sarebbe la somma di tutti i modi normali ciascuno con un proprio “peso”. Potreste chiarirmi meglio le idee su come si muove la membrana ed in particolare: -cosa sono i modi normali? -e’ possibile eccitare la membrana,e dove,con un impulso,in maniera tale che vibri in un solo determinato modo “normale”? Ad esempio se percuoto la membrana al centro essa vibrerà secondo il modo (0,1) sovrapposto al (0,2),al (0,3) ….oppure no? -come si passa dai modi normali al movimento della membrana sottoposta ad una particolare eccitazione? -cosa s’intende,relativamente alla membrana,per onde stazionarie,trasversali,etc..?Ed in che rapporto stanno con i modi normali? Grazie.

A differenza della corda vibrante, corpo ad una dimensione, la membrana è un corpo a due dimensioni. C’è quindi da aspettarsi che i suoi modi di vibrare siano considerevolmente più ricchi di quelli di una corda vibrante e così infatti è. Ma vedremo che i comportamenti sono analoghi (le equazioni che reggono i due moti sono parenti prossime una dell’altra e, in prima approssimazione, in entrambi i casi, lineari per cui vale la sovrapposizione degli effetti) per cui, chi conosce abbastanza bene i modi di vibrare di una corda non farà molta fatica ad estendere i concetti a due dimensioni.

Ricordiamo alcuni concetti base della corda vibrante:

Se infinita essa è in grado di trasmettere una qualsiasi forma d’onda in una direzione contemporaneamente a una qualsiasi altra forma d’onda nella direzione opposta. La velocità di propagazione (uguale in modulo nei due sensi per evidenti ragioni di simmetria) è:

c = √ (T / ρ)

dove T è la tensione della corda in N

ρ è la sua densità lineare (massa per unità di lunghezza)  in kg/m

Se inviamo due onde periodiche tra loro esattamente opposte nelle due direzioni è intuitivo oltre che facile a dimostrare che esisteranno infiniti  punti a distanza costante tra loro dove le due onde si annulleranno sempre. Questi punti (che non si muovono mai) si chiamano nodi e la distanza tra due nodi successivi sarà:

D = τ / c

dove τ è il periodo

Un’onda così fatta non si propaga, ma si limita a far vibrare la corda. Questo tipo di onda si dice “stazionaria”.

Se noi prendiamo una corda lunga esattamente quanto una distanza nodale e bloccata agli estremi, essa potrà evidentemente vibrare secondo quella legge come se fosse infinita. Cio’ purché la forma dell’onda sia periodica di periodo τ.

E’ altrettanto evidente che la corda di lunghezza finita D potrà vibrare con onde di periodo τ/2, τ/3, τ/4, τ/5 etc… e ancora non abbiamo posto alcun vincolo alla forma di queste onde, ma solo alla loro periodicità.

D’altro canto Fourier ci assicura che qualsiasi fenomeno periodico può essere considerato somma di un certo numero di sinusoidi di frequenza uguale o multiplo intero di quella del fenomeno in esame. Il moto della nostra corda vibrante si può quindi considerare la somma delle sue componenti sinusoidali (sia nello spazio che nel tempo) che sono convenzionalmente chiamate “modi di vibrare”: fondamentale più armonici. Una corda che vibra secondo un modo di vibrare  puro avrà ogni suo punto che oscillerà secondo una sinusoide pura (nel tempo).

Veniamo ora alla membrana circolare uniformemente tesa (che è una bella semplificazione).

Anche per essa la veloctà c è data da:

c = √ (T / ρ)

ma T è la tensione per unità di lunghezza e ρ la densità superficiale (massa per unità di superficie)

Quindi, come per la corda, la velocità e quindi la altezza delle note prodotte crescerà con la tensione della pelle e decrescerà con il suo peso.

Chiameremo ancora “modo di vibrare” o “modo normale” una vibrazione in cui ogni punto della membrana si muove di moto armonico puro. Naturalmente, per una membrana a due dimensioni i gradi di libertà sono maggiori che per una corda. Dove per una corda avevamo i “punti nodali” di un certo modo di vibrare, i punti cioè in cui la corda non si muoveva, nel caso della membrana avremo le linee nodali. Queste potranno essere dei diametri o delle circonferenze concentriche alla membrana e così come nella corda i nodi dovevano essere a distanza costanti tra loro, anche le linee nodali saranno a forme e distanze ben precise come si vede dai seguenti esempi tratti da http://www.tabla.com/tablach2.html (vedi):

 

Prima armonica o fondamentale
(0,1) nessuna linea nodale (o meglio una linea nodale: il bordo esterno)


seconda armonica
(1,1) linea nodale orizzontale + bordo esterno (BE)


terza armonica:
(2,1) due linee nodali a 90° tra loro + BE
(0,2) una linea nodale circolare + BE


quarta armonica:
(3,1) tre linee nodali a 120° tra loro + BE
(1,2) una linea orizzontale e un cerchio + BE


quinta armonica:
(4,1) quattro linee nodali a 45° + BE
(2,2) due linee nodali e un cerchio + BE
(0,3) due linee nodali circolari + BE
 
I modi di vibrare in alcuni di questi modi normali sono:
 

per il modo (0,1)


 

per il modo (1,1)


 

per il modo (2,1)


 

e così via... fino all'infinito, ma, anche in un caso semplice, già affascinante:

per il modo (3,3)


Naturalmente questi sono solo alcuni degli infiniti “modi normali possibili”. Infiniti in teria, ma in pratica le armoniche più si allontanano dalla fondamentale, meno contribuiscono al timbro in quanto meno ampie, ma, sopratutto, meno udibili.

Ora l’equazione che descrive il moto della membrana è, dicevamo, lineare e vale quindi il principio della sovrapposizione di effetti. I modi di vibrare “normali” si possono quindi sovrapporre tra loro in una qualsiasi combinazione lineare dando come risultante un modo di vibrare valido anche se non più “normale”. Per contro il teorema di Fourier, applicato alle due dimensioni, ci dice che qualsiasi modo di vibrare (normale o non) può essere considerato la somma di un opportuno numero di modi “normali”. 

Se si vuole eccitare una membrana secondo un modo normale il più possibile puro, bisogna fare un po’ come si fa con le corde: bloccare i “nodi” durante la sollecitazione. Chiunque ha provato a pizzicare una corda di chitarra appoggiando lievemente un polpastrello al suo centro e rilasciandolo appena dopo averla pizzicata avrà certo sentito il suono purissimo che se ne ricava (un’ottava sopra naturalmente). Questo perché il dito al centro ha impedito tutte le armoniche dispari.

Bene anche con la membrana si può fare qualcosa di simile appoggiando le mani in posizioni opportune mentre si da il colpo con la mazza. E’ ciò che fanno molti suonatori per ottenere, con le armoniche, le note volute. Appoggiando la mano lungo una delle lineee nodali mostrate sopra si eliminano tutte le armoniche che porrebbero in vibrazione uno qualsiasi dei punti su cui si è appoggiata la mano. Restano le altre componenti che formano il suono emesso, col suo timbro.

Per rispondere a una delle domande, se percuoto la membrana al centro, mi aspetto, per ragioni di simmetria, che il moto sia la sovrapposizione di modi (0,n) cioè di moti che implicano solo “nodal circles”.

Si intende per onda stazionaria, nella membrana come nella corda, un onda che invece di propagarsi (come farebbe in una corda o membrana infinite) resta ferma limitandosi a far vibrare la corda o la membrana stessa. Essa non può propagarsi in quando la membrana è finita e saldamente fissata al suo contorno. Come nella corda, quest’onda rimbalza continuamente sui contorni e il suo effetto è quello di far vibrare la membrana invece che di propagarsi.

Per onda trasversale (opposta a longitudinale) si intende una vibrazione perpendicolare alla direzione di propagazione.Onda longitudinale è invece quella che vibra secondo la direzione di propagazione.

Un ‘onda sonora nell’aria è longitudinale: l’aria infatti vibra nella direzione stessa in cui si propaga il suono in quel punto (si dice: avanti e indietro).

Una corda propaga una perturbazione lungo sé stessa, ma la perturbazione sposta ogni tratto di corda lateralmente; siamo in presenza di un’onda trasversale. Anche una membrana propaga lungo il piano in cui giace, ma la vibrazione avviene perpendicolarmente a tale piano; ancora una volta abbiamo un’onda trasversale.

I “modi normali” di una membrana sono onde stazionarie trasversali che, come dicevamo sopra, fanno vibrare ogni punto della membrana di moto armonico puro. Data una combinazione lineare di “modi normali” il moto risultante sarà la semplice somma algebrica dei moti componenti, né più né meno che per una corda.

Per quanto riguarda il modo di sollecitare una membrana, anche qui il parallelo con la corda può aiutare: un violinista o un chitarrista possono pizzicare o strisciare l’archetto più o meno vicino al ponticello traendone suoni più o meno ricchi di armoniche (striduli). Percuotendo con la mazza punti diversi della membrana si tende ad esaltare quei modi normali che hanno un ventre vicino al punto di percussione. 

Per una soddisfacente trattazione matematica che farebbe diventare questo testo intollerabilmente lungo rimando a:

http://www.astro.queensu.ca/~portugal/ftp/membrane/axiamemb.html

E’ molto chiara e ben scritta, purtroppo in inglese.