Thomas Digges
nel 1576 scrisse “A Perfit Description of the Caelestial Orbes” (Una completa
descrizione delle sfere celesti), in cui assunse il modello copernicano
per il Sistema Solare ma immerso in un universo infinito di stelle. Come
capi’ Keplero nel 1610 in un universo del genere non c’e’ spazio per il
cielo notturno. Questa e’ l’origine del paradosso di Olbers (che se ne
occupo’ solo nel 1823). Ecco il perche’ (e quindi l’errore di Digges).
Supponiamo
di trovarci in un universo infinito e statico, con una certa densita’
media di stelle simili al Sole. Vogliamo calcolare il flusso di radiazione
ricevuto sulla Terra.
Dividiamo
l’universo in tante sfere concentriche di raggio r con centro nella Terra.
Sia dr lo spessore (costante) dei gusci (shell) che si vengono a formare.
Se n e’ la densita’ media di stelle, in una shell di raggio r e spessore
dr sono presenti dN=4*pi*r*r*n*dr stelle. Da ogni stella contenuta nella
shell la Terra riceve un flusso di radiazione pari a F=L/4*pi*r*r, dove
L e’ la luminosita’ media delle stelle.
Il flusso
totale che la shell invia sulla Terra e’ dato da
dFtot=F*dN=n*L*dr
come si
vede questa quantita’ e’ indipendente da r: ogni guscio invia sulla Terra
la stessa quantita’ di energia, indipendentemente dalla distanza. Visto
che l’universo e’ per ipotesi infinito, ci sono infiniti gusci e quindi
un’energia infinita che dovrebbe giungere sulla Terra.
I calcoli
precedenti non tengono conto del fatto che le stelle si occultano l’una
con l’altra, quindi la somma dei gusci va fatta fino al limite del campo
visuale. Il raggio della visuale e’ dato da
R=1/pi*Ro*n
dove Ro
e’ il raggio del Sole. Tenendo conto di questo, il flusso totale ricevuto
a Terra non e’ infinito ma pari a
Ftot=L/pi*Ro
valore 4
volte superiore a quello della superficie solare. La temperatura di brillanza
del cielo dovrebbe essere di 8100 K, valore in contrasto con quanto si
osserva. Questo e’ il paradosso di Olbers.
Il paradosso
si risolve considerando che l’eta’ dell’universo e’ finita. Al massimo
le stelle piu’ lontane distano circa 15 miliardi di anni luce, valore
10^11 volte inferiore ad R, il raggio della visuale. Rifacendo i calcoli
si trova che il flusso sulla Terra risulta di soli 0.01 erg/cm^2 s, pari
ad una temperatura di 4.7 K: un valore accettabile.
Per ulteriori
dettagli sulla soluzione del paradosso di Olbers si puo’ vedere:
P.Wesson,
K.Valle, R.Stabell, “The extragalactic background light and a definitive
resolution of olbers’s paradox”, Astrophysical Journal, Vol.317, pp.601-606,
1987.