GRADIENTE
Parliamo di gradiente di uno scalare o meglio di un campo scalare. Per esempio la temperatura di una stanza.
Supponiamo di fotografare la situazione in un determinato istante con le temperature istantanee di ogni punto.
La temperatura sarà più alta accanto o meglio sopra i caloriferi e più bassa sotto le finestre. Insomma in ogni punto posso misurare una temperatura diversa. Inoltre osservo che la temperatura varia poco da punto a punto
meno che nelle vicinanze appunto del calorifero e della finestra dove in pochi centimetri si può misurare un’escursione termica di parecchi gradi, mentre nel resto della stanza e nell’arco di alcuni metri essa varia di uno o due gradi. Supponiamo di volere dare una rappresentazione matematicamente esatta di questa variazione.
Essa (variazione) sarà alta vicino al calorifero e alla finestra e sarà bassa nel resto della stanza. Inoltre, andando verso il calorifero avrò un aumento di temperatura, allontanandomi una diminuzione, muovendomi parallelamente
ad esso probabilmente piccole variazioni trascurabili. In altre parole questa variazione non solo ha un’intensità (grado per metro in questo caso), ma anche una direzione (verso il calorifero e, evidentemente, opposta alla
finestra).
Supponiamo ora la nostra stanza riferita a un sistema di assi cartesiani. In ogni punto la temperatura sarà definita da una funzione delle 3 coordinate cioè:
T = f(x,y,z)
In ogni punto la velocità di variazione secondo x sarà rappresentata dalla derivata parziale rispetto a x e così dicasi per gli altri due assi
Vx = δf/δx
Vy = δf/δy
Vz = δf/δz
Se ora costruiamo un vettore che ha per componenti le tre derivate di cui sopra e lo chiamiamo gradiente del campo scalare indicando con i, j, k i versori dei tre assi:
grad T = δf/δx i + δf/δy j + δf/δz k
avremo appunto un vettore diretto secondo la direzione di massima variazione del campo il cui modulo rappresenta la velocità di variazione.
Proprietà matematiche:
Si dimostra facilmente che l’integrale di linea tra due punti del vettore gradiente dipende solo dai due punti e non dal cammino percorso. Questo integrale è infatti uguale alla differenza del campo T tra il punto di arrivo e quello di partenza.
Si può definire matematicamente anche il gradiente di un campo vettoriale. Ogni componente del campo vettoriale avrà un suo gradiente. L’insieme dei tre gradienti costituirà un tensore doppio, il gradiente appunto del campo vettoriale. Il tensore doppio avrà come gradiente un tensore triplo e così via.
ROTORE
Prendiamo un campo vettoriale, per esempio il campo delle velocità di un fluido in movimento. In ogni punto, sempre fotografato a un determinato istante, è associato un valore di velocità. Il fluido può scorrere in maniera uniforme traslando come se fosse solido oppure uno strato può scorrere rispetto a quello accanto imprimendo alla porzione elementare di liquido un moto rotatorio. Questa rotazione sarà tanto più forte quanto più alta sarà la velocità di scorrimento e quanto più vicini tra loro saranno i due strati. Supponiamo di avere un piano X Y orizzontale e uno strato d’olio su di esso che scorra nella direzione dell’asse X con velocità nulla al contatto col piano e linearmente crescente con l’altezza Z. La rotazione della particella sarà la velocità di variazione della velocità secondo X nella direzione Z sarà cioè: δVx/δz e il vettore rotazione sarà diretto come Y occorrerà quindi moltiplicarlo per j (versore dell’asse Y). Ripetendo quanto sopra per tutte le coordinate e combinazioni si arriva a definire il vettore rotazione (rotore) come:
rot V = (δVz/δy – δVy/δz) i + (δVx/δz – δVz/δx) j + (δVy/δx – δVx/δy) k
Proprietà matematiche:
rot grad f = 0 (tutti i gradienti sono irrotazionali)
l’integrale di linea su una linea chiusa del campo originale è uguale all’integrale del suo rotore esteso a una qualunque superficie che abbia per bordo la linea stessa.
DIVERGENZA
Prendiamo ancora il campo di velocità utilizzato per il rotore. Supponiamo che il fluido sia un liquido che, come è noto, è incomprimibile. Se prendiamo un cubetto elementare di liquido se esso si comprime in una direzione dovrà, per mantenere il volume, espandersi in almeno una delle altre due. Un gas potrà invece tranquillamente espandersi o comprimersi in qualsiasi direzione.
La velocità di espansione del cubetto elementare è data dalla funzione divergenza:
div V = δVx/δx + δVy/δy + δVz/δz
se la si legge bene essa rappresenta quanto aumenta la velocità secondo X più l’aumento più l’aumento secondo Y più l’aumento secondo Z.
Proprietà matematica:
div rot V = 0 (tutti i rotori sono a divergenza nulla ovvero “solenoidali”)
Gli esempi fatti riguardano un campo di temperatura e il moto di un fluido. Il grande utilizzo di questi operatori matematici è perà nello studio dei campi gravitazionale e elettromagnetico.