La risposta è negativa, per definizione stessa di dimensione di uno spazio vettoriale.
Uno spazio vettoriale sopra un campo K è un insieme V nel quale sono definite due operazioni: una somma di vettori (gli elementi di V si dicono anche vettori) che dà come risultato ancora un vettore, ed un prodotto tra un elemento del campo K e un vettore (multipli e sottomultipli di vettori) che fornisce ancora un vettore. Tali operazioni inoltre godono di varie proprietà:
1) per ogni v e w vettori di V si ha v+w=w+v;
2) esiste il vettore nullo (0) tale che v+0=0+v=v per ogni v;
3) (v+w)+u=v+(w+u),
4) k*(v+w)=k*v+k*w,
5) (k+h)*v=k*v+h*v,
6)k(h*v)=(kh)*v,
7)1*v=v,
dove 1 denota l’elemento unitario del campo K, e k,h generici scalari in K.
Sostanzialmente valgono le usuali regole di calcolo. Una delle definizioni cruciali nella Teoria degli spazi vettoriali risiede nella definizione di indipendenza lineare: due vettori v e w sono linearmente indipendenti se non sono uno multiplo dell’altro, oppure, detto in modo più generale, due vettori sono linearmente indipendenti se av+bw=0, con a,b in K, sussiste se e solo se a=b=0. Si vede facilmente che questo traduce il fatto detto precedentemente.
La definizione si generalizza facilmente: n vettori v1 ,v2 ,….,vn si dicono linearmente indipendenti se
a1 v1 +a2 v2 +…+an vn =0
se e solo se a1 =a2 =…=an =0.
Senza entrare in questioni più profonde, come basi e generazione, siamo già pronti per dare una risposta esauriente alla domanda. Infatti, per definizione, si dice che la dimensione di V è finita e pari a n se n è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti appartenenti a V. Altrimenti diciamo che V ha dimensione infinita.
Ne segue che non ha senso chiedersi se la dimensione possa essere un numero che non sia naturale, dal momento che la dimensione stessa viene definita come cardinalità massima di certi sottoinsiemi di V, e quindi forzatamente come numero naturale positivo o nullo (nullo solo nel caso V={0}).