Ogni teoria fisica, in particolare quelle meccaniche, cioè quelle che studiano l’evoluzione temporale dei sistemi fisici, ambienta le proprie equazioni cardine in determinati spazi la cui struttura algebrica e geometrica è strettamente legata con la visione del mondo che la teoria fisica in questione rappresenta.
In Meccanica Classica la grandezza principale che viene utilizzata per descrivere il moto di una particella è la sua posizione, seguita immediatamente dopo dalla sua quantità di moto. Quando abbiamo a che fare con sistemi composti da molte particelle (o, in termini più tecnici, da molti gradi di libertà), allora il sistema è descritto da molte variabili di posizione e altrettante variabili di quantità di moto. Queste variabili (che in genere sono in numero di 3 variabili di posizione e 3 di quantità di moto per ogni particella) vengono, per comodità di formalismo e di analisi geometrica della dinamica, considerate come componenti distinte di un vettore che appartiene ad uno spazio astratto, non coincidente con quello reale in cui noi viviamo. L’insieme di tutti i vettori con componenti date dalle variabili di posizione va a costituire quello che va sotto il nome di Spazio delle Configurazioni, l’insieme di tutti i vettori con componenti date dalle variabili di quantità di moto costituisce lo Spazio dei Momenti. Il prodotto cartesiano di questi due insiemi costituisce lo Spazio delle Fasi.
Benché siano degli spazi astratti, questi insiemi sono comunque collegati abbastanza intuitivamente con lo spazio reale. Del resto un elemento dello Spazio delle Configurazioni non è niente altro che una sequenza di tanti vettori posizione a tre dimensioni, uno per ogni elemento del sistema in esame, e puoi quindi essere facilmente collegato con quello che si percepisce con i nostri occhi. Anche se agli occhi di un profano, questo formalismo appare una complicazione, in realtà rende tutto più semplice da trattare analiticamente.
Si può intuire come si guadagna in semplicità passando a questo formalismo pensando che se volessimo visualizzare il comportamento di un gas nello spazio reale esso sarebbe descritto da miriadi di curve (le traiettorie) che si intersecano continuamente ad ogni istante, mentre invece, nello Spazio delle Fasi, il comportamento di un qualsiasi sistema, anche un gas con moltissime particelle, è descritto da una singola traiettoria che, per motivi matematici, non può mai intersecare sé stessa.
L’intuitività di queste strutture ausiliarie delle teorie fisiche classiche si perde completamente in ambito quantistico.
In Meccanica Quantistica non è più possibile descrivere il moto di una singola particella tramite la traiettoria, ma è necessario utilizzare un vettore di stato, che spesso viene rappresentato tramite la famosa funzione d’onda che è una funzione definita in ogni punto dello spazio e che assume valori complessi. In generale, per un sistema quantistico, l’insieme che contiene tutti i possibili vettori di stato del sistema sarà uno Spazio di Hilbert, che è uno spazio vettoriale, spesso di dimensionalità infinita, i cui elementi sono vettori complessi, cioè le cui componenti sono numeri complessi. La necessità di ricorrere ad una struttura algebrica tanto complicata risiede nelle peculiarità della Meccanica Quantistica, che sappiamo essere una teoria matematicamente molto più complicata della Meccanica Classica, che richiede proprietà non commutative alle grandezze fisiche di base e che presenta il fenomeno dell’interferenza tra gli stati di un sistema. Questa complicatezza di riflette sul fatto che persino lo Spazio di Hilbert relativo ad un sistema con un singolo grado di libertà (per esempio una singola particella in una scatola monodimensionale) può avere infinite dimensioni, mentre, in Meccanica Classica, anche un gas con tantissime particelle sarà sempre descritto da un vettore appartenente ad uno Spazio delle Fasi di dimensione finita, anche se magari molto alto.
In definitiva si può dire che l’unica cosa che hanno in comune lo Spazio delle Fasi e lo Spazio di Hilbert è solo il fatto di essere gli scenari in cui avviene l’evoluzione dello stato del sistema, nel caso Classico il primo, nel caso Quantistico il secondo. Mentre tutto il resto è differente: la struttura algebrica, la strada concettuale della loro definizione e costruzione, le proprietà geometriche e l’interpretazione dei loro elementi.