Le funzioni d’onda sono le funzioni che in meccanica quantistica vengono utilizzate per descrivere lo stato di un sistema e che risolvono le cosidette equazioni d’onda che stanno alla base di questa teoria meccanica.
Queste funzioni non sono funzioni qualsiasi, ma per avere senso fisico devono soddisfare determinati criteri analitici. In particolare devono:
1) essere funzioni al quadrato sommabili, cioè che danno un numero finito se si calcola l’integrale su tutto lo spazio del loro modulo quadro (le funzioni d’onda sono funzioni a valori complessi),
2) deve valere il principio di sovrapposizione, cioè la somma di due funzioni d’onda che risolvono la stessa equazione è anch’essa una soluzione della stessa equazione (questo è dovuto la fatto che le equazioni d’onda sono lineari).
Queste due proprietà, dal punto di vista matematico, indicano che le funzioni d’onda con significato fisico formano un insieme che viene chiamato Spazio Vettoriale. Un esempio di spazio vettoriale è quello delle coordinate cartesiane, in generale tutte le grandezze vettoriali della fisica classica fanno parte di un qualche spazio vettoriale. La cosa che differenzia le funzioni d’onda dai normali vettori è che le funzioni d’onda possiedono un numero infinito di componenti (c’è una componente per ogni punto dello spazio).
In ogni spazio vettoriale è sempre possibile costruire delle basi, cioè insiemi di vettori molto più ristretti dello spazio intero, ma che permettono di ricostruire tutto lo spazio con semplici operazioni di somma di vettori e/o moltiplicazione per numeri scalari. Inoltre le basi possono essere scelte ortogonali, cioè in cui tutti i vettori che ne fanno parte sono perpendicolari tra loro, o anche ortonormali, in cui, oltre alla richiesta di perpendicolarità si richiede che tutti i vettori di base abbiano lunghezza (modulo) unitario.
Un esempio di base ortonormale nel piano cartesiano (che è un altro esempio di spazio vettoriale) è formata dai vettori (1,0) e (0,1).
Parlare di perpendicolarità tra funzioni sembrerà paradossale, dato che siamo abituati a concepire la perpendicolarità come una proprietà geometrica e quindi esclusiva di oggetti disposti nello spazio reale. In realtà la perpendicolarità può essere caratterizzata completamente tramite operazioni esclusivamente analitiche, che non contemplano l’uso di strumenti di misura geometrici.
Fondamentalmente, nel caso di funzioni d’onda, la perpendicolarità tra due funzioni significa che descrivono due stati del sistema completamente indipendenti l’uno dall’altro. Generalmente in Meccanica Quantistica la base è determinata dalla funzione hamiltoniana (energia) del sistema, e in tal caso le funzioni ortonormali della base rappresentano gli stati stazionari del sistema, cioè stati che non cambiano nel tempo.
In generale, contrariamente con gli spazi vettoriali della fisica classica, le basi degli spazi vettoriali delle funzioni d’onda (in generale detti Spazi di Hilbert) posseggono un numero infinito di elementi, tuttavia è un’infinità più piccola rispetto a quella di tutto lo spazio.
La Delta di Kronecker e la Delta di Dirac sono due oggetti matematici speciali, sono due grandezze che dipendono da due indici, il primo da indici discreti, il secondo da indici continui. Entrambi rappresentano, restando nell’ambito delle funzioni d’onda, stati in cui la particella in esame si trova esattamente in un certo punto dello spazio. Si userà la Delta di Kronecker nel caso in cui lo spazio sia discreto (per esempio un reticolo cristallino), quella di Dirac nel caso in cui lo spazio sia continuo.