Per prima cosa occorre precisare che cosa si intende per buca infinita: in genere per i sistemi fisici si richiede che l’energia potenziale sia limitata dal basso. Questo per assicurare la stabilita’ del sistema. Buche di potenziale finite sono ottenute in genere con un potenziale zero ovunque tranne che in una regione finita. All’inizio di ogni corso di Meccanica Quantistica si studia in genere il prolema di una particella in una buca di potenziale rettangolare in una dimensione: potenziale nullo al di fuori di un intervallo (per esempio [-a,a]) e uguale a una costante negativa V0. Gli autovalori dell’hamiltoniano si trovano imponendo le condizioni di continuita’ della funzione d’onda e della sua derivata prima. Per la buca infinita, invece, non e’ possibile aumentare semplicemente la profondita’ V0 della buca: in questi casi si impone che il potenziale sia infinito al di fuori dell’intervallo [-a,a], e quindi la funzione d’onda all’esterno della buca si annulla. Allora basta risolvere il problema della equazione di Schroedinger nell’intervallo che definisce la buca, con le condizioni al contorno dell’annullamento della funzione d’onda. Questo definisce i livelli energetici e gli stati stazionari, ognuno doppiamente degenere ad eccezione del fondamentale, che non puo’ esserlo per principio.
Altro caso di buca infinita, questo un po’ particolare, e’ quello del potenziale a delta di Dirac. In tal caso la funzione d’onda e’ supportata ovunque nello spazio, ma non e’ regolare nel supporto della delta. Quindi si risolve il problema nello spazio in cui il supporto della delta sia stato cancellato, e si impongono le condizioni al contorno. In una dimensione queste condizioni sono la continuita’ della funzione d’onda nel punto in cui la delta e’ supportata e discontinuita’ a salto della derivata prima, l’ampiezza del quale si ricava dalla equazione di Schroedinger stessa:
-h’2/(2m) f”(x) + a d(x) f(x) = E f(x)
laddove h’ e’ la costante di Planck diviso 2 volte pi greco, d(x) e’ la delta di Dirac, e f(x) e’ la funzione d’onda.
Integrando una volta, tra -z e z, e mandando z a zero, si ottiene nel limite che il termine di destra non contribuisce, e si ottiene:
limz->+0(f'(z)-f'(-z))= 2 m a/h’2 f(0)
All’infinito si impone l’annullarsi della funzione d’onda se si vuole trovare lo stato legato (in questo caso al piu’ uno solo), oppure l’andamento di onda piana se si vuole trovare solo la fase di scattering. In piu’ dimensioni ovviamente si utilizza la simmetria sferica.