Per calcolare le accelerazioni è più conveniente partire da un sistema di riferimento inerziale, in particolare considerare il sistema di riferimento in cui le due cariche sono inizialmente ferme. In questo problema trascuriamo l’attrazione gravitazionale delle due cariche perché sarà, in generale, molto più debole dell’interazione elettrostatica. Pertanto ciascuna carica subisce la forza elettrostatica generata dall’altra carica. Queste forze hanno stessa direzione (la retta congiungente le due cariche) e intensità e verso opposto (i versi saranno convergenti se c’è attrazione, saranno divergenti se c’è repulsione). L’intensità delle forze, nel sistema di riferimento inerziale, è data dalla legge di Coulomb
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le cariche sono in valore assoluto perché questa formula si riferisce solo al modulo del vettore forza. Anche le accelerazioni hanno la stessa direzione e verso opposto (con le stesse specificazioni dette prima) ma non hanno lo stesso modulo perché le due masse non sono uguali. I moduli delle accelerazioni nel sistema di riferimento inerziale sono dati dal rapporto tra forza subita e massa della carica, per cui
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Durante l’avvicinamento il moto delle cariche produce una corrente e quindi, non appena le cariche iniziano a muoversi, si produrrà anche un campo magnetico di intensità crescente. La generazione di questo campo magnetico sottrae energia alle due cariche che quindi subiscono un frenamento, ma tale frenamento può essere trascurato se le velocità raggiunte non sono elevate.
Per calcolare le accelerazioni nei sistemi di riferimento solidali con le cariche (le accelerazioni relative) bisogna fare una distinzione. Infatti il formalismo corretto per passare da un sistema di riferimento ad un altro, soprattutto quando sono in gioco forze di tipo elettromagnetico, sarebbe quello della relatività di Einstein, perché oltre alle correzioni relativistiche alla composizione delle velocità e delle accelerazioni bisognerebbe considerare le correzioni relativistiche alla trasformazione del campo elettromagnetico. Questi calcoli sono molto complessi quando sono coinvolte accelerazioni, per di più variabili, e campi variabili. Tuttavia se le velocità sono basse rispetto a quella della luce nel vuoto e i campi non sono molto intensi (quindi si analizza la situazione con cariche non troppo vicine) allora si può analizzare tutto nell’ambito della relatività galileana. In tal caso le accelerazioni relative sono date dalla differenza vettoriale delle due accelerazioni, il che corrisponde ad una somma per i soli moduli dato che i vettori coinvolti nella differenza sono antiparalleli. Quindi l’accelerazione relativa, per entrambi i punti di vista, ha modulo pari a
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Il centro di massa CM di questo sistema si calcolerà come al solito per cui si troverà lungo il segmento che congiunge le due cariche in posizione tale che la distanza da ciascuna carica sarà proporzionale alla massa dell’altra carica. Le due distanze dalle cariche dal centro di massa misureranno
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Il loro centro di carica CQ è, come usuale, definibile solo se le due cariche sono dello stesso segno. Infatti ogni distribuzione di carica generica possiede due centri di carica, uno relativo alle sole cariche positive e uno relativo alle sole cariche negative (questi due centri di carica sono poi quelli coinvolti nel calcolo del momento di dipolo della distribuzione di carica, supponendo che abbia senso parlare di dipolo, per cui la distribuzione di carica deve avere almeno due cariche segno opposto). Quindi se le due cariche hanno segno opposto abbiamo due centri di carica che coincidono con le cariche stesse. Se invece le due cariche hanno lo stesso segno allora esiste un unico centro di carica la cui posizione può essere calcolata con considerazioni e formule analoghe a quelle del centro di massa
