Innanzitutto eliminiamo dalla domanda un interrogativo che in realtà non c’entra nulla con il resto: diagonalizzando la matrice di LORENTZ, non si giunge a nessun prodotto scalare. Per il semplice motivo che la diagonalizzazione di una matrice, anche nel caso di matrici unitarie (che sono quelle che possono svolgere il ruolo di trasformazioni tra sistemi di riferimento diversi), non c’entra nulla con il prodotto scalare.
Quando abbiamo un insieme di trasformazioni indicizzate da un parametro (nel caso delle trasformazioni di LORENTZ a 1+1 dimensioni questo parametro è la velocità) che descrivono i cambiamenti di sistema di riferimento, il prodotto scalare è quella funzione bilineare nelle componenti dei vettori che è invariante rispetto a qualunque elemento del gruppo di trasformazioni (cioè indipendentemente dal valore del parametro). Invece la diagonalizzazione individua i vettori che sono invarianti rispetto alle trasformazioni. Le due cose sono diverse. Per esempio nel piano cartesiano della geometria analitica il ruolo delle trasformazioni di base è giocato dalle rotazioni intorno all’origine (in tal caso il parametro è l’angolo di rotazione). Per questo gruppo di trasformazioni la funzione bilineare invariante è quella che corrisponde all’usuale prodotto scalare euclideo (x2+y2), invece non ci sono autovettori diversi da quello nullo.
Torniamo ora alle trasformazioni di LORENTZ che sono rappresentate da matrici nella forma
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Diagonalizzare una trasformazione significa inviduare quei vettori che sono invarianti sotto l’azione della trasformazione stessa. Nel caso specifico, diagonalizzare le trasformazioni di LORENTZ significa trovare quei vettori che generano rette nello spazio-tempo di MINKOWSKI che possono costituire gli assi spaziale e temporale di un sistema di riferimento invariante rispetto alle trasformazioni di LORENTZ. Dal punto di vista fisico una trasformazione di LORENTZ descrive il passaggio di un sistema di riferimento ad un altro mediante cambio della velocità, per cui un sistema invariante è un sistema per il quale non cambiano le osservazioni meccaniche anche cambiando la sua velocità. Nella Relatività di GALILEO questo sistema non esiste, invece in quella di EINSTEIN tale sistema è quello solidale con un raggio di luce. Naturalmente questi sistemi di riferimento sono sistemi degeneri perchè per passare da un sistema di riferimento normale a questo sarebbe necessario sostituire v=c nella matrice di LORENTZ, ma tale valore non è consentito in quanto annullerebbe i denominatori dei coefficienti.