Innazitutto chiariamo una cosa: l'equilibrio termodinamico di un sistema non e' legato allo stato immobile dei suoi componenti microscopici, in quanto l'equilibrio termodinamico e' semplicemente quello stato a partire dal quale un sistema non varia il valore delle grandezze macroscopiche che lo caratterizzano (per esempio pressione, temperatura e volume per un gas), quindi non c'e' da fare nessuna distinzione tra stato in cui le particelle sono mediamente ferme e equilibrio termodinamico perche' si sta parlando di due cose completamente diverse, anche perche' il concetto stesso di particella mediamente ferma non e' facilmente comprensibile dato che in qualunque sistema la velocita' di una particella cambia cosi' rapidamente che in intervalli di tempo non troppo brevi ogni particella e ferma "in media", ma questo non vuol dire che i diversi sistemi o i diversi stati di un sistema non siano differenti tra loro.

Fatta questa precisazione possiamo passare alla tua domanda principale, cosa succede alla materia (in particolare gli elettroni) allo zero assoluto, questa temperatura e' caratterizzata, per definizione, dal fatto che da qualunque sistema a questa temperatura non puo' essere sottratta ulteriormente dell'energia, dato che questo comporterebbe un raffreddamento del sistema che e' impossibile al di sotto dello 0 assoluto. Questo pero' non vuol dire che ogni particella e' ferma, si potrebbe affermare cio' solo se si volesse usare la meccanica classica per estrapolare il comportamento della materia a temperature cosi' basse, ma sappiamo bene che quando le quantita' di energia scambiate diventano molto piccole (come accade quando un corpo viene raffreddato a temperature prossime allo 0 assoluto) dobbiamo studiare il moto degli oggetti con la meccanica quantistica. Quindi non possiamo non tenere conto del fatto che vale in ogni caso il principio di indeterminazione e quindi gli elettroni non sono assolutamente fermi (cosa che non e' mai possibile in meccanica quantistica), semplicemente sono tutti rigorosamente nello stato che gli compete in modo che il sistema, cioe' ogni atomo, si trovi nello stato fondamentale, mentre invece a temperature diverse dallo 0 assoluto la differenza di energia interna rispetto allo stato di 0 assoluto fa si' che una percentuale, per quanto piccola, di atomi si trovi in stati eccitati.

Tutto questo discorso vale anche per gli atomi e qualsiasi altra particella che possa comporre il tuo sistema, vale sempre il principio di indeterminazione per qui l'energia del sistema e' al minimo possibile ma le particelle sono comunque in moto, anche se per atomi molto massivi questo moto e' cosi' piccolo da poter essere considerato nullo se la situazione lo permette, ma non e' nullo rigorosamente.

Tutto questo chiaramente e' detto trascurando il fatto che raffreddare un oggetto esattamente allo 0 assoluto e' impossibile perche' richiederebbe una quantita' di energia infinita (tutte le macchine frigorifere necessitano di assorbire lavoro dall'esterno per sottrarre calore al corpo che devono raffreddare).