Il modello atomico di Sommerfeld è il modello atomico che scaturisce dal primo tentativo di codificare le evidenze della natura quantistica del mondo in un apparato teorico, la cosidetta Quantizzazione di Borh-Sommerfeld. Essa consiste nell’introdurre a mano alcuni elementi di Meccanica Ondulatoria all’interno della Meccanica di Newton che invece descrive gli oggetti corpuscolari.
In pratica si considerano validi tutti i Principi della Meccanica di Newton, compresa l’equazione F=ma per il calcolo della legge oraria e della traiettoria, ma si aggiunge che negli stati di moto confinato possono esistere solo quelli associati ad onde di De Broglie stazionarie. Cioè quando un corpo è confinato a muoversi in una regione ristretta dello spazio (quindi a compiere un moto approssimativamente periodico), come ad esempio una biglia all’interno di una scatola o un elettrone legato ad un nucleo atomico, il corpo in moto può seguire solo quelle traiettorie per le quali la lunghezza d’onda di De Broglie (λ=h/p, con p quantità di moto e h costante di Planck) è un sottomultiplo della lunghezza dell’orbita periodica. Chiaramente questa teoria quantistica è autocontradditoria perché si introduce di fatto un elemento (la natura ondulatoria della materia) in evidente contrasto con altri assunti della teoria stessa (il concetto di traiettoria può essere costruito solo ammettendo che si possano conoscere simultaneamente posizione e velocità del corpo, cosa vietata dal Principio di Indeterminazione di Heisenberg che soggiace al concetto di onda di De Broglie). Per tale motivo la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld è classificata come una teoria semiclassica, perché incorpora la natura ondulatoria della materia senza però farlo in maniera coerente.
Applicando questa nuova meccanica allo studio dell’atomo di Idrogeno si ottiene il modello di Sommerfeld che prevede ancora delle orbite ellittiche per l’elettrone intorno al nucleo, ma che non possono avere una forma e una distanza dal nucleo arbitraria: sono quantizzate, cioè le sue caratteristiche geometriche (le lunghezze dei due semiassi) possono variare solo di quantità discrete, non con continuità.
Modello atomico di Sommerfeld: le ellissi piene verdi sono due orbite permesse, quella tratteggiata in rosso invece è un orbita intermedia proibita.
Nonostante la “rozzezza” di questo modello rispetto a quello completamente quantistico di Schroendiger, da esso già possono essere ricavate alcune proprietà interessanti, ricavabili naturalmente anche da quello di Schroendiger, come ad esempio la quantizzazione dell’energia meccanica associata ad ogni orbita. Ogni variazione energetica deve essere accompagnata dall’emissione o assorbimento di un quanto di luce, un fotone che sottragga o apporti la quantità di energia necessaria alla transizione. In pratica ogni orbita di Sommerfeld corrisponde ad un orbitale di Schroendiger, per quanto riguarda le grandezze fondamentali di energia, momento angolare e momento magnetico, però non essendo il modello di Sommerfeld completamente quantistico non coglie tutti gli aspetti della fisica atomica colti da quello di Schroendiger.
Ormai questo modello ha principalmente un interesse didattico: non esiste corso base di Meccanica Quantistica che non inizi con la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld per introdurre i futuri fisici al mondo “strano” e affascinante della fisica dei quanti. Tuttavia il suo limite, cioè l’incorporazione solo parziale del principio di indeterminazione, fa capire che ci possono ancora essere delle condizioni di utilizzo pratico di questo modello: se si analizza la fisica di sistemi in condizioni in cui le proprietà quantistiche sono ancora rilevanti ma in cui, per esempio, gli scambi energetici sono abbastanza fitti da poter essere approssimati come continui (o come si dice in gergo, quando i numeri quantici, quelli che individuano l’energia e le altre grandezze fisiche in termini quantizzati, sono molto grandi), allora le previsioni fatte con la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld non si discosteranno in modo significativo da quelle fatte tramite l’equazione d’onda di Schroendiger. In tali casi il modello di Sommerfeld viene in aiuto se i calcoli fatti con la Meccanica Quantistica “giusta” si rivelassero troppo complicati da portare a termine. Un esempio su tutti è lo studio del comportamento degli elettroni periferici negli atomi molto grandi (quando il numero di elettroni dell’atomo si avvicina o supera il centinaio).
Appendice
In questa appendice verrà spiegata brevemente la Quantizzazione di Bohr-Sommerfeld in termini maggiormente rigorosi rispetto al corpo della domanda.
Se abbiamo un moto periodico, allora il sistema presenta tutta una serie di grandezze che restano costanti nel moto. Queste grandezze, a meno di costante moltiplicative, sono tutte esprimibili nella forma
dove q e p sono rispettivamente una coordinata generalizzata usata nella descrizione del sistema e il momento ad essa coniugato. Esempi di coppie di questo tipo sono un angolo e un momento angolare, oppure una coordinata spaziale e la relativa componente della quantità di moto.
Queste grandezze così calcolate hanno tutte naturalmente le dimensioni di un’azione, co e la costante di Planck h, pertanto venne naturale porre come condizione di quantizzazione
dove si impone che il valore di queste grandezze costanti debba essere uguale ad un multiplo intero della costante di Planck. Le traiettorie che restituiscono valori in rapporto non intero con h per queste grandezze non sono permesse e non vengono quindi mai percorse da un sistema fisico.