NON LINEARITA' E DIFFICOLTA' NELLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI NS

La difficoltà nella risoluzione delle equazioni di NS deriva dal fatto che, nel caso generale, il moto di un fluido ha sempre una componente di accelerazione non stazionaria ed una convettiva. La componente convettiva rende non lineari le equazioni differenziali alle derivate parziali, determinando in pratica l'impossibilità di ottenere una soluzione analitica.
Le ipotesi sulle condizioni iniziali e al contorno influiscono sul termine non lineare determinando la natura delle equazioni, che possono di volta in volta diventare iperboliche, paraboliche o ellittiche:

a) si ha ad esempio un'equazione iperbolica per correnti di fluido non viscoso, stazionarie e supersoniche oppure non stazionarie, supersoniche e subsoniche
b) si ha un'equazione parabolica per corrente stazionaria di fluido viscoso newtoniano, comprimibile o meno, presenti termini degli sforzi trascurabili in una direzione dello spazio
c) si ha un'equazione ellittica per moto stazionario subsonico di fluidi non viscosi

In alcuni casi particolari, definiti da determinate condizioni iniziali ed al contorno (flusso tra lastre piane, flusso di Couette, etc.), i termini non lineari diventano identicamente nulli e le corrispondenti equazioni di Navier-Stokes ammettono quindi una soluzione analitica.

VORTICITA' E SUPERFLUIDI TURBOLENTI

La turbolenza nei cosiddetti fluidi quantistici o superfluidi rappresenta un campo di ricerca di frontiera della fisica sperimentale, negli ultimi anni si sono raggiunti comunque alcuni importanti risultati che ci permettono di affrontare con una certa sicurezza la domanda posta.

Per una semplice e chiara esposizione sulle principali proprietà dei superfluidi si rimanda alla seguente pagina di Wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Superfluidit%C3%A0

E' utile ricordare che in un superfluido le particelle si trovano tutte nel medesimo stato quanto meccanico, si comportano cioè all'unisono, come se fossero un'unica particella, al contrario degli atomi dei fluidi normali che sono indipendenti gli uni dagli altri. Tra le caratteristiche più curiose di un superfluido c'è quella dell'irrotazionalità: se ruotiamo il contenitore che contiene un superfluido questi al suo interno si mantiene assolutamente immmobile, il suo moto è quindi irrotazionale. E' però possibile ottenere una sorta di imitazione del moto rotazionale iniettando nel superfluido una serie di vortici (sono state messe a punto svariate tecniche basate su reti vibranti, fili in movimento etc. ), che tendono a disporsi lungo file vorticose in cui solo la parte interna di ciascun vortice è in movimento mentre tutto ciò che vi sta intorno è assolutamente immobile!
Secondo la teoria dei due fluidi di Landau, un superfluido consiste di due componenti: il fluido viscoso normale, legato all'eccitazione termica, ed il superfluido totalmente privo di attriti viscosi ed associato allo stato quantistico della materia. Allo zero assoluto (0 K) la componente superfluida è l'unica presente, al crescere della temperatura la componente normale aumenta.
Mentre in un fluido normale i vortici possono essere di tutte le dimensioni, in un superfluido la meccanica quantistica limita i moti rotazionali a filamenti di vortici quantizzati che assomigliano a dei piccolissimi "tornado" (vedi fig. 1). In particolare, in un superfluido la circolazione, che è definita in termini di integrale al contorno del campo di velocità attorno al centro del vortice, è quantizzata in unità di h/M, dove h è la costante di Planck ed M è la massa della particella di superfluido.