Assumo che con PSD si indichi la funzione densità di probabilità, (fdp o in inglese pdf): con PSD spesso si indica la densità spettrale di potenza di un processo aleatorio.
La funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria indica quali sono i valori più probabili che la variabile aleatoria può assumere: l’area sottesa dalla fdp tra due valori x1 e x2 e l’asse delle ascisse è pari alla probabilità che la variabile aleatoria sia compresa tra quei due valori.
Quindi la fdp deve essere sempre positiva o nulla, e l’area totale da -∞ a +∞ deve essere pari a 1.
Quando si definisce una variabile aleatoria y come funzione di una (o più) altra variabile aleatoria x,
y = g(x)
la fdp della y è legata alla fdp della ( o delle) x. Come già sa chi pone la domanda, non vale la
fY(y) = g(fX(x))
e l’errore che si commette dipende sia dalla funzione "g" che dalle fdp delle xi.
Un esempio molto semplice: siano x1 e x2 due variabili aleatorie, definiamo
y = x1 + x2
la fdp di y ovviamente non è
f(y) = fX1(x1(y)) + fX2(x2(y))
che non ha alcun significato, infatti avrei una fdp con area maggiore di 1.
Esistono vari metodi analitici per calcolare la fdp della y. Se le variabili y sono tante quante le x, si utilizza il determinante Jacobiano per ottenere la fdp congiunta delle yi in funzione della fdp congiunta delle xi:
fY(y) = fX(x(y)) / |J(y)|
dove J è lo Jacobiano della trasformazione. Per esempio, nel caso di due variabili si ha:
Se c’è una sola variabile y si può definire una variabile ausiliaria; per esempio nel caso della somma
y = x1 + x2
si può definire la variabile ausiliaria
z = x1
Allora
fYZ(y, z) = fX1X2(x1(y, z), x2(y, z)) / |J(y, z)|
e se x1 e x2 sono indipendenti
fYZ(y, z) = fX1(x1(y, z)) fX2(x2(y, z)) / |J(y, z)|
cioè come è noto la fdp della somma è la convoluzione delle fdp.
L’esempio posto nella domanda è anche esso un caso notevole: quando le xi sono due e sono pari alle componenti I e Q di un segnale la funzione
rappresenta il modulo del segnale. Se le xi sono indipendenti e gaussiane il modulo ha una fdp di Rayleigh.
z e y sono quindi indipendenti e fZ(z) è la fdp di Cauchy mentre fY(y) è la funzione di Rayleigh come ci si aspettava1.
Una procedura molto generale per il calcolo della f(y) consiste nell’individuare per ogni valore di y il dominio Dz delle xi per cui la funzione è compresa fra y e y + dy. Per definizione di fdp si ha
1. L’espressione:
fY(y) = fX(x(y)) / |J(y)|
prevede il calcolo delle radici di y = g(x) per ogni y
Se per una certa y esistono più radici x1, x2, xn, l’espressione della fdp diventa
fY(y) = fX(x1(y)) / |J(y)| + fX(x2(y)) / |J(y)| + … + fX(x3(y)) / |J(y)|
mentre se non ci sono radici risulta
fY(y) = 0
Il termine 2/|J| nella espressioen della congiunta fYZ(y,z) deriva proprio dal fatto che ci sono due radici che danno un contributo identico.