Vorrei studiare in maniera più approfondita, con l’ausilio di formule matematiche e fisiche, l’esperimento di Foucault e il suo pendolo. Potreste aiutarmi?

Se si considera un pendolo conico posto al Polo Nord (trascurando il moto della terra attorno al sole e le forze di attrito), le leggi della dinamica prevedono che le oscillazioni del pendolo, spostato dalla sua posizione di equilibrio e poi lasciato andare con velocità nulla in un sistema di riferimento "inerziale", giacciano su un piano immobile .
In tale situazione il moto del pendolo oscillante lungo questo piano "immobile", visto da un osservatore ancorato al sistema di riferimento rotante solidale alla Terra, sembra avvenire lungo un piano che ruota in senso contrario a quello della rotazione della Terra, con velocità angolare uguale ed opposta a quella della Terra.
Questa previsione discende direttamente dalla seconda legge della dinamica per le rotazioni.
Tale legge stabilisce che la derivata del vettore momento della quantità di moto è uguale al vettore momento della forza.
Nel pendolo conico (una massa appesa tramite un filo ad un punto fisso, detto fulcro) la forza risultante che agisce sulla massa è la somma vettoriale della forza di gravità e della tensione del filo.
Dato che il momento di tale forza è all’inizio perpendicolare al piano verticale passante per fulcro e posizione iniziale della massa del pendolo, la velocità della massa in ogni istante deve essere un vettore parallelo a tale piano e quindi il moto della massa resta vincolato al piano.
Circa la definizione di "sistema di riferimento inerziale" (quello che ai tempi di Foucault coincideva con un sistema di riferimento legato alle "stelle fisse"): esso è definito implicitamente dalla prima legge della dinamica.
Un sistema si dice inerziale se rispetto ad esso un corpo non soggetto ad alcuna interazione si muove di moto rettilineo ed uniforme.
Oggi sappiamo che non esiste nello spazio un sistema di riferimento inerziale assoluto (ovvero almeno una terna di punti fissi nello spazio): ad esempio anche le stelle dette "fisse", che un tempo venivano usate come riferimento per definire un sistema inerziale, si muovono di moto accelerato, e solo la scala di lunghezza del fenomeno esaminato ci permette di volta in volta di approssimare un particolare sistema di riferimento ad un sistema inerziale.
Ad esempio per moti brevi (temporalmente e spazialmente) la Terra si puo’ considerare un riferimento inerziale, mentre lo stesso non si può dire per una automobile o una giostra in movimento.
In prima approssimazione un sistema fisso rispetto all’orbita che la Terra percorre attorno al Sole (eclittica) può essere considerato un sistema inerziale per moti abbastanza estesi, ad esempio per il moto di un proiettile che percorra molti chilometri, o per il moto di un pendolo di Foucault che duri molte ore.

L’apparente rotazione del piano di oscillazione è facilmente dimostrabile ad esempio facendo oscillare una massa appesa ad un filo ancorato ad un gancio posto sopra il centro di una piattaforma rotante.
Se si fa in modo che il pendolo lasci una traccia sulla piattaforma, la traiettoria della traccia risulta una "rosetta" con un numero N di "petali" che cresce con il rapporto tra il periodo di rotazione Tr ed il periodo di oscillazione T:

N=2Tr/T.

Un metodo per spiegare la rotazione del piano di oscillazione al Polo Nord, e’ quello di porsi nel sistema di riferimento della piattaforma rotante ed introdurre nelle equazioni del moto anche le "forze apparenti", quelle dovute al fatto che la Terra ruota.
Ad esempio tutti sappiamo che quando ci troviamo sopra una giostra che gira velocemente ci sentiamo spingere verso l’esterno da una forza "centrifuga".
In modo analogo, nel sistema della piattaforma che ruota sotto al pendolo tutto avviene come se sulla massa oscillante agisse, oltre alla forza di gravita’, una "forza apparente", detta forza di Coriolis, diretta, nel piano orizzontale in direzione ortogonale alla velocita’ istantanea della massa.
La direzione della forza di Coriolis dipende sia dal verso della velocita’ angolare della piattaforma che dalla direzione della velocita’ v della massa m, e la sua intensita’ e’ proporzionale ad entrambe.

In una rappresentazione vettoriale la forza di Coriolis si scrive

e da tale notazione si puo’ dedurre che l’intensita’ della componente della forza lungo un piano qualsiasi e’ proporzionale alla proiezione della velocita’ angolare sulla perpendicolare a tale piano. Di conseguenza essa e’ nulla quando il moto della massa avviene in un piano contenente il vettore velocita’ angolare.
Ad esempio, se consideriamo il moto di un pendolo a piccole ampiezze di oscillazione, la massa in buona approssimazione si muove in un piano orizzontale, e quindi la componente orizzontale della forza di Coriolis in un sistema di riferimento legato ad una giostra orizzontale (il vettore velocita’ angolare e’ verticale) e’ massima.
Invece se poniamo il pendolo su una grande ruota verticale (come quelle talvolta presenti nei Luna Park), ove la velocita’ angolare e’ diretta orizzontalmente, la componente nel piano orizzontale della forza di Coriolis prodotta dal movimento della ruota e’ nulla.
Per questa ragione gli effetti della forza di Coriolis su un pendolo sono massimi al Polo Nord e al Polo Sud (come per un pendolo su piattaforma rotante in senso antiorario ed orario, rispettivamente) e nulli all’equatore (come per un pendolo su una ruota verticale).
La forza di Coriolis dovuta alla rotazione della Terra agisce ad angolo retto rispetto alla velocita’ del corpo,
deviandolo verso destra nell’emisfero boreale e verso sinistra nell’emisfero australe
Nel caso che il pendolo sia posto ad una latitudine qualsiasi, diversa da 90o o 0o, l’effetto della forza di Coriolis dipende dalla latitudine secondo la relazione vettoriale

che fornisce per l’intensità della forze:

FC = – 2m v Ω sin φ,

ove Ωz = Ωsinφ è la componente del vettore velocità angolare terrestre nella direzione perpendicolare al piano orizzontale locale.
L’osservatore vedrà che in tal caso in 24 ore il piano di oscillazione ruota meno di un angolo giro, e precisamente di un angolo pari a 360° sin φ, ove φ è la latitudine .
La forma esatta della traiettoria percorsa dalla proiezione sul piano orizzontale della posizione della massa dipende anche dalle condizioni iniziali.
Se il pendolo è trattenuto fermo lontano dalla sua posizione di equilibrio, e poi abbandonato con velocità nulla relativa al sistema di riferimento rotante (terra), allora la traiettoria descrive una curva del tipo rappresentato in figura 1.

Se invece il pendolo parte dalla posizione di equilibrio con velocità finita (in direzione radiale qualsiasi) allora la traiettoria descrive una curva del tipo rappresentato in figura 2.

La differenza tra le due traiettorie (la prima non passa mai per il punto di equilibrio mentre la seconda ci passa due volte ogni periodo di oscillazione) si spiega facilmente considerando che :
– nel primo caso il pendolo parte con una velocità tangenziale non nulla nel sistema di riferimento inerziale, e quindi la traiettoria non è un tratto di retta ma una ellissi, che si compone con il moto rotatorio della Terra.
– nel secondo caso il moto visto in un sistema di riferimento inerziale segue un tratto di retta, che si compone con il moto rotatorio della Terra.
Per ottenere i due tipi di traiettoria in un modellino di pendolo montato su una giostra con un sistema per tracciare la traiettoria (ad esempio un indice che affonda in un piano di sabbia, come fece Leon Foucault) si deve: nel primo caso lanciare il pendolo con un dispositivo di sgancio solidale alla piattaforma rotante e nel secondo caso lanciare il pendolo con un dispositivo solidale al sistema fisso esterno alla piattaforma.
Infatti, ove si possa trascurare lo smorzamento dovuto all’attrito, nel primo caso il pendolo avrà nella posizione di massima elongazione esattamente la stessa velocità tangenziale della piattaforma (e quindi velocità nulla relativa alla piattaforma), e nel secondo caso in tale posizione avrà velocità tangenziale relativa uguale ed opposta a quella della piattaforma.
Nel primo caso il moto osservato dal sistema di riferimento esterno segue una traiettoria ellittica che non passa per il punto di equilibrio.
Nel secondo caso la traiettoria sarà un segmento passante per il punto di equilibrio.
(Ovviamente nella approssimazione di piccole elongazioni in cui si possono trascurare gli spostamenti verticali della massa del pendolo).
Le equazioni parametriche sono rispettivamente (per un pendolo con periodo d’oscillazione di 1 ora)

X=(sinφ-12)/(sinφ+12)*sin(pi*(sinφ+12)*t/12)-sin(pi*(sinφ-12)*t/12)
Y=(sinφ-12)/(sinφ+12)*cos(pi*(sinφ+12)*t/12)-cos(pi*(sinφ-12)*t/12)

X= sin(pi*(sinφ+12)*t/12)- sin(pi*(sinφ-12)*t/12)
Y=cos(pi*(sinφ+12)*t/12)- cos(pi*(sinφ-12)*t/12)

Aggiornamento della risposta
ho curato la progettazione e l’installazione del pendolo di Foucault nel Palazzo della Ragione a Padova: ulteriori informazioni si possono trovare sul sito di LabTrek.