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10-11-2005

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Con le coordinate di due punti qualsiasi della terra, è possibile calcolare la loro distanza considerando che questi due punti non formano una retta ma un arco? Se sì, come? Grazie in anticipo.

(Risponde Alessandro Gelagi)


Fig. 1: La Terra vista dal satellite Apollo 17. 
Raggio equatoriale 6.378,14 km
 
Raggio polare 6.356,78 km
 
Circonf. equatoriale =40.075,0354 km
 
Circonf. polare =39.940,8267 Km


Volume 1,0832 x1012 km3


Massa 5,9737 x 1024 kg


Densità 5,515 g/cm3


Area della superficie 510.065.700 km2

Gravità all’equatore 9,766 m/s2 (=1 g)

Velocità di fuga 11.180 m/s

Periodo di rotazione siderale 23,934 ore

Inclinazione assiale 23,45° 

La domanda del lettore potrebbe sembrare alquanto semplice, ma il suo contenuto coinvolge uno degli argomenti più complessi della rappresentazione cartografica della superficie terrestre. Tale argomento appartiene alla Geodesia che è una disciplina delle scienze della Terra e si occupa della misura e della rappresentazione della Terra, del suo campo gravitazionale e dei fenomeni geodinamici (spostamento dei poli, maree terrestri e movimenti della crosta).
I suoi ambiti d’interesse possono essere suddivisi in due gruppi:
1. Lo studio delle dimensioni e della forma della Terra nella sua globalità e dei suoi aspetti di carattere gravitazionale;
2. Lo studio e la misura di parti della superficie della Terra (topografia).

Tralasciamo la storia degli studi e delle varie elaborazioni succedutesi nei secoli per concentrarci maggiormente sui risultati finali.

Per determinare con esattezza la posizione di un luogo sulla superficie terrestre, bisogna usare lo strumento delle coordinate geografiche: la latitudine e la longitudine.


  
Fig. 2: Immagine che illustra il reticolo formato dai meridiani e paralleli.


Fig. 3: Rappresentazione di meridiani e paralleli.

La latitudine è la distanza angolare di un punto dall’Equatore, misurata in gradi (l’unità di misura dell’angolo). Alla misurazione si aggiunge l’indicazione Nord o Sud, a seconda che il punto si trovi nell’emisfero boreale (settentrionale) o australe (meridionale).

La longitudine è la distanza angolare di un punto dal meridiano fondamentale di Greenwich, misurata in gradi (l’unità di misura dell’angolo). Alla misurazione si aggiunge l’indicazione Est oppure Ovest, a seconda che il punto si trovi ad oriente o ad occidente del meridiano fondamentale.


Dalla figura 4 si comprende benissimo che un arco massimo lungo un meridiano comprende uno spazio uguale a parità di distanza angolare uguale. Vale a dire che la distanza chilometrica tra un parallelo e l’altro è sempre la stessa (circa 110,9467 Km) in qualsiasi punto della Terra. Per esempio, se “scendo” dal decimo parallelo Nord fino all’equatore, viaggiando lungo un meridiano, potrò conoscere la distanza percorsa con un semplicissimo calcolo: 110,9467 x 10= 1.109,467 Km.
Insomma, viaggiando lungo una qualsiasi circonferenza polare e assumendo che la terra è completamente sferica, per ogni percorso tra un parallelo e l’altro intercorre la stessa distanza di 110,9467 Km.


Fig. 4: d(A,B) è la distanza tra A e B; d(C,D) è la distanza in Km tra C e D. Pertanto si ha che d(A,B) = d(C,D) = 110,9467 x 30 =3.328,401 Km.

Fig. 5: Appare evidente che i rispettivi percorsi “a”, “b”, “c” differiscono moltissimo tara loro. Perciò la relazione sarà a>b>c.

La stessa cosa non accade se, a latitudini diverse, passiamo da un meridiano all’altro, cioè se viaggiamo lungo un parallelo. Infatti, percorrendo l’equatore (parallelo zero gradi) in tutta la sua circonferenza avremmo percorso una distanza di 40.075,0354 km; mentre percorrendo il 30° o il 60º parallelo in tutta la circonferenza ciascun percorso sarà evidentemente inferiore a quello equatoriale. Man mano che ci allontaniamo dall’equatore, sia verso nord che verso sud, la latitudine aumenta mentre diminuisce la distanza chilometrica tra un meridiano ed il successivo, tanto che tale distanza si azzera in corrispondenza dei poli.
Quindi, passare da un meridiano all’altro a latitudini diverse, implica percorrere distanze diverse (vedi fig. 5).


 

IL PROBLEMA
Come poter calcolare, allora una distanza percorsa tra due punti qualsiasi della Terra di cui si conoscono le coordinate geografiche? Il lettore chiede se ciò sia possibile e, in caso positivo, come.
La risposta è: “Sì, possiamo calcolare la lunghezza dell’arco massimo che unisce due punti qualsiasi della superficie terrestre.”.

Fig. 6 Due punti qualsiasi.

Siano la latitudine () e la longitudine () rispettivamente dei punti A e B; sia la differenza tra le due longitudini e la distanza angolare tra i due punti considerati (A,B),
la distanza angolare tra A e B è data dalla formula:

 
      

che fornisce la distanza in radianti, o raggi terrestri.

Basta moltiplicare il risultato (
) x 6360 (raggio della Terra arrotondato) per ottenere la distanza in km.

Con una calcolatrice scientifica o per mezzo di un foglio elettronico sul computer, sarà facile eseguire i calcoli indicati nella formula.

Da aggiungere che in, caso di distanze piccole, la formula qui sopra  può fornire un largo errore di arrotondamento. Pertanto, per distanze piccole, dove il coseno è molto vicino a 1 e l'arcocoseno, quindi, poco accurato, è consigliabile utilizzare formule alternative che si possono reperire, assieme a quella qui riportata, al seguente indirizzo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Great-circle_distance>http://en.wikipedia.org/wiki/Great-circle_distance

Diversamente, chi non volesse utilizzare la calcolatrice né il foglio elettronico, potrà collegarsi al seguente indirizzo il quale offre la possibilità di tale calcolo dopo aver inserito i parametri richiesti (latitudine e longitudine dei due punti considerati) o due delle principali città mondiali.
http://www.comunedipinasca.it/main.php?section=utility/distanza.php



 

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