Le particelle vengono divise in diverse classi
in relazione ad alcune proprietà che le accomunano.
Una di queste proprietà è la statistica alla
quale obbediscono, che potrebbe essere descritta come il modo in cui le
particelle distribuiscono la propria energia quando si trovano in assemblea
(è questo il termine tecnico che si usa).
Si è trovato sperimentalmente che le assemblee
di particelle possono essere di due tipi:
-
Assemblea che si distribuisce secondo
la statistica di Bose- Einstein -
Assemblea che si distribuisce secondo
la statistica di Fermi- Dirac
Le particelle di spin intero appartengono
alla prima categoria e vengono dunque dette bosoni, quelle di spin
semintero alla seconda, e sono dette fermioni.
Statistica
di Fermi – Dirac
Obbediscono a questo tipo di statistica le
particelle identiche, indistinguibili e che non possono occupare uno stato
quantico già occupato da un’altra particella. Un gas di elettroni (spin
½) ne è l’esempio più classico. Vediamo come si forma un’assemblea di
elettroni. Il primo arriva e si pone, tipicamente, nello stato con l’energia
più bassa possibile (stato fondamentale, il più stabile), ed allinea il
suo spin in uno dei due modi possibili (ricordiamo che una particella
di spin ½ può avere spin parallelo o antiparallelo ad una direzione scelta).
Il secondo elettrone non può mettersi nello stesso stato: sceglierà ancora
lo stato ad energia più bassa, ma la direzione dello spin sarà opposta
rispetto a quella del suo compagno. Per il terzo elettrone non c’è modo
di piazzarsi nello stato di energia fondamentale, perché anche gli stati
di spin sono occupati e violerebbe il principio di esclusione di Pauli:
è costretto a scegliere uno stato ad energia maggiore. Così di seguito,
gli elettroni riempiono tutti i livelli di energia (ognuno di questi ospita
due particelle) fino alla cosiddetta energia di Fermi, che
dipende dal materiale. A temperatura zero (assoluta) gli
elettroni occupano tutte le energie fino all’ energia di Fermi, mentre
oltre questo livello non si trovano elettroni. A temperatura più alta,
l’agitazione termica fa sì che alcune particelle scavalchino l’energia
di Fermi.
Questo tipo di descrizione si applica ad esempio
agli elettroni di conduzione nei metalli. Anche le nane bianche possono
essere considerate un gas di Fermi.
Figura 1 : distribuzione di Fermi-Dirac per
diverse temperature. I fermioni occupano gli stati liberi fino alla energia
di Fermi.
Si puo` mostrare che la distribuzione di Fermi-Dirac
ha espressione:
Questa formula ci dice quale e` il numero
di particelle in un dato stato di energia E . 
e` l’energia di Fermi, k la
costante di Boltzmann e T la temperatura.
Inoltre, g(E)e` il numero di stati con energia
tra E e E+dE.
Per una derivazione vedi ad esempio questo
link.
Statistica di Bose-Einstein
Le assemblee di bosoni (l’esempio più classico
è l’assemblea di fotoni) non sono vincolate dal fatto che solo una particella
può occupare un dato stato quantico. Per questo tendono ad accumularsi
nello stato fondamentale. Più la temperatura è bassa, più è grande l’accumulo
verso lo stato fondamentale. Questo dà per altro luogo a fenomeni interessanti,
come la superfluidità.
Condensazione di Bose-Einstein
e Superfluidità
Figura 2 : statistica di Bose-Einsein. A bassa
temperatura, le particelle tendono ad accumularsi nello stato fondamentale,
non essendo vincolate dal principio di esclusione di Pauli.
Si dimostra che la statistica di Bose-Einstein
ha espressione:
dove k e` la costante di Boltzmann e T la
temperatura.
Per una derivazione vedi questo link
Bibliografia
Qualsiasi libro di Meccanica Statistica, Meccanica
Quantistica o di introduzione alla fisica moderna, ad esempio:
M. Alonso, E. Finn , “Fundamental University
Physics”, vol. 3
Huang, Statistical Mechanics