La modulazione di angolo (nota come modulazione di argomento che comprende
come casi particolari le
modulazioni di fase e di frequenza) è una modulazione
non lineare. Il segnale modulante, cioè il messaggio,
è “consegnato” all`argomento
della portante sinusoidale e ciò comporta un`estensione spettrale del segnale
modulato che normalmente risulta molto più ampia dello spettro del messaggio
(teoricamente
infinita).
Ricordiamo che nelle modulazioni lineari dove in sostanza abbiamo un
prodotto tra il messaggio e la portante, noto lo spettro del messaggio,
è relativamente semplice ricavare lo spettro modulato 1.
Addirittura
nel caso di segnale modulante stazionario e portante sinusoidale è sufficiente
un semplice prodotto trigonometrico applicando le formule di prostaferesi
per ricavare la posizione e l`ampiezza delle righe dello spettro modulato.
Le modulazioni di argomento sono molti intuitive nel loro principio
di funzionamento ma molto più complesse nell`analisi spettrale appunto
per la loro non linearità.
Un segnale modulato in frequenza consiste in una deviazione di frequenza
della portante proporzionale al messaggio, rappresentabile da un vettore
che mentre ruota con una velocità angolare della portante
ωo
oscilla pendolarmente attorno ad essa con le frequenza del messaggio
ed ampiezze di oscillazione angolare ΔΦ
proporzionali all`ampiezza
del messaggio, vm(t).
La rappresentazione analitica (che per comodità esprimo in forma
esponenziale complessa) dell`inviluppo del segnale modulato di argomento
di una sinusoide che modula l`argomento di un`altra sinusoide con
ωo
>> ωm è uguale a:
(a)
dove Vo è la portante non modulata e α(t) è una trasformazione
del segnale modulante vm(t). Nel semplice caso di messaggio
sinusoidale abbiamo:
otteniamo:
(b)
ΔΦ è la massima deviazione angolare che subisce la portante,
e nella modulazione di frequenza rappresenta l`indice di modulazione, normalmente
indicato con m.
Ebbene, a differenza delle modulazioni lineari, per scomporre la (b)
e ricavare le righe spettrali del segnale modulato, bisogna ricorrere allo
sviluppo in serie di Fourier servendosi delle funzioni di Bessel. Più complessa,
e relativamente recente è l`analisi della densità spettrale per segnali
modulanti non periodici.
Stacchiamoci momentaneamente dalla radiotecnica per rispondere cosa
sono le funzioni di Bessel. Mi limiterò a descrivere l`essenziale in modo
che chi volesse approfondire sappia che cosa cercare.
Le funzioni di Bessel sono alcune soluzioni di una particolare equazione
differenziale lineare del secondo ordine, detta di Bessel2.
Le soluzioni delle equazioni differenziali sono funzioni y=f(x) che possono
essere rappresentate mediante uno sviluppo in serie di potenze della forma
(c)
Certe forme di equazioni che presentano singolarità non hanno
nessuna serie di potenze che sono soluzioni nell`intervallo attorno alla
singolarità.
Per esempio, supponiamo che l`equazione differenziale del secondo ordine
sia un`equazione di questo tipo:
(d)
quando X=0 i coefficienti delle derivate prima e seconda di y hanno
valore 0 (punto singolare in x=0).
Per risolvere queste equazione ci vuole una buona preparazione nella
teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Per fortuna, alcuni casi speciali d funzioni che presentano singolarità
hanno delle teorie che consentono dei metodi per essere risolte ancora
con sviluppi di serie di potenza attorno alla singolarità.
Se poniamo Xo=0, P(x) =1, Q(x)=X2-n2, la forma
dell`equazione diventa:
(e)
che è nota come equazione di Bessel. È utilizzata in fisica
nei problemi riguardanti flussi di calore in cilindri e vibrazioni di
membrana e nella modulazione di argomento dove appunto abbiamo un vettore
(portante) che vibra. Il punto Xo è un punto singolare regolare e ciò permette
di utilizzare il teorema di Frobenius per ricavare soluzioni nella forma
di serie di potenze (c).
(f)
È possibile semplificare la forma applicando alcune proprietà della
funzione gamma di Eulero. Se utilizziamo la classica notazione J(x) al posto
di f(x) e poniamo n=α, si ottengono le forme classiche della funzione
di Bessel di prima specie d`ordine n, per x>0 e n>=0.
Quando n è un intero non negativo otteniamo un`altra semplificazione
e la funzione di Bessel è data dalla serie di potenze:
(g)
Questa è anche una soluzione dell`equazione di Bessel per x<0.
Sono state costruite tavole molto estese delle funzioni di Bessel: una
volta si usava l`Abramovitz oggi con i PC
si trovano le funzioni di Bessel anche in applicativi tipo Excel.
In figura sono mostrati i grafici delle 6 funzioni
Jo-J5(x).
Per vedere l`utilizzo delle funzioni di Bessel per la visualizzazione
dello spettro modulato di argomento da un messaggio sinusoidale, riprendiamo
l`espressione (b) ed osserviamo che l`inviluppo complesso della modulazione
è periodico di periodo Tm=1/fm
Di conseguenza si può espandere v(t) in sviluppi in serie di Fourier:
(h)
Dove i coefficienti di Fourier Cn sono espressi mediante le funzioni
di Bessel di prima specie
funzioni di bessel (i)
Ecco l`utilizzo delle funzioni di Bessel: il fatto importante
è che non serve calcolare i coefficienti di Fourier, poiché sono le stesse
funzioni di Bessel
Diamo ora alcune proprietà delle funzioni di Bessel anche deducibili
dal fatto che sono i coefficienti d Fourier del segnale (h)
In base a queste proprietà e applicando la trasformata di Fourier per
passare dal dominio tempo della (h) al dominio della frequenza, che evito
di descrivere per non appesantire troppo la risposta, per il calcolo dello
spettro è sufficiente conoscere le funzioni di Bessel per argomenti e indici
non negativi. Gli andamenti dei Jn (ΔΦ) per i primi
sei ordini di n sono illustrati in figura.
Ho inoltre illustrato nella figura l`andamento dello spettro per il
valore di ΔΦ=m=2.4 che come esempio è la deviazione di fase
ottenuta da una portante di 100Khz, sottoposta ad una deviazione di frequenza
di 2.4 Khz, che si sposta con frequenza fm di 1Khz. Penso che la figura
visualizzi bene il metodo per ricavare lo spettro. Per ogni valore dell`indice
di modulazione m abbiamo spettri completamenti diversi.
Osservando la figura notiamo che la funzione J0 (ΔΦ)
rappresenta l`ampiezza della portante. A deviazione nulla (m=O, segnale
non modulato) abbiamo solo la portante fo, presa, per comodità, di ampiezza unitaria
ed uguale al valore che J0 (ΔΦ)= 1.
Le ampiezze rappresentano
tensioni elettriche; per la potenza basta fare il quadrato dei Jn(x)
Aumentando via via l`indice di modulazione lo spettro si arricchisce
di componenti laterali3 (duomo di Milano) e la portante si
riduce conseguentemente in accordo con il fatto che la potenza del segnale
modulato in argomento è costante. Vettore che ruota con raggio unitario
formando una circonferenza, nessuna variazione di ampiezza).
Si vede che la portante si annulla per indici di modulazione di 2.4,5.5
e così via. La funzione J1 (ΔΦ) rappresenta le prime
righe laterali attorno alla portante a distanza fo±fm.
J2(ΔΦ)
rappresenta le seconde righe laterali attorno alla
portante a distanza fo±2fm e così via.
Per (ΔΦ) diverso da zero l`estensione spettrale è sempre
illimitata e la larghezza di banda è calcolata per convenzione al 90% della
potenza totale. L`espressione per ottenere la larghezza di Banda è la nota
regola di Carson
Note
- Tutte le modulazioni di ampiezza sono lineari comprese le modulazioni
digitali QAM e PSK che diffusa come modulazione di fase non ha niente ha
che fare con le modulazioni di argomento. - L`equazione prese il nome dell`astronomo tedesco Bessel nonostante
che fossero presenti un secolo primo nei lavori di Bernoulli ed Eulero. - In realtà lo spettro è formato da righe, che non hanno dimensione
in ascisse, nella figura sono visualizzate barre per limitazioni dovute all’uso
del programma Excel.