Concetti quali la funzione di trasferimento fanno parte della teoria dei sistemi, una materia che analizza in modo astratto ed in particolare tramite la matematica le caratteristiche di insiemi di parti tra loro interagenti che chiamiamo sistemi. Prima di proseguire una fondamentale premessa: la teoria dei sistemi è un argomento vasto e complesso, a volte di difficile comprensione, quindi in questa sede la presento con un approccio divulgativo semplice e pratico; prego quindi i puristi di perdonare talune affermazioni non rigorose.
Rispondendo ora direttamente alla domanda, possiamo affermare che la funzione di trasferimento di un generico sistema definisce in modo matematico le relazioni che legano tra loro tutte le variabili coinvolte nel suo funzionamento; a livello intuitivo invece, con una semplificazione non rigorosa, possiamo dire che la funzione di trasferimento ci aiuta a capire il funzionamento pratico di un certo sistema. Ad esempio un banale sistema che abbia fdt(t)=2 potrebbe essere considerato un amplificatore che raddoppia il proprio ingresso.
Per meglio capire il concetto di funzione di trasferimento è opportuno prima definire bene quello di sistema. Ho già definito un generico sistema come "insiemi di parti tra loro interagenti": questo significa che gli elementi di un sistema in qualche modo si influenzano a vicenda e non ha senso che appartengano allo stesso sistema entità del tutto indipendenti l’una dall’altra (si noti la generalità di queste affermazioni da cui traspare la vastità della materia). Facciamo un esempio pratico, il "sistema frigorifero": nel frigorifero che tutti conosciamo ci sono diversi elementi in reciproca interazione al fine di realizzare il funzionamento voluto e cioè raffreddare una zona di spazio precisa. Scendendo un pò nel dettaglio, ma rimandendo sempre a livello astratto, possiamo dire che nel frigorifero ci sono tre elementi principali: una pompa che sospinge un fluido apposito, un meccanismo che raccoglie il calore dalla zona da raffreddare e lo trasmette al fluido, infine un altro meccanismo che scarica all’esterno il calore raccolto dal fluido. Il risultato, senza definire nei particolari i principi fisici alla base di ciò, è che il sistema frigorifero trasferisce calore e quindi la sua funzione di trasferimento dovrá per forza, in qualche modo, descrivere questo fatto in accordo con l’esperienza pratica.
Ora che abbiamo in mente un esempio reale di sistema, facciamo un passo indietro osservando questo utile schema riassuntivo in cui sono presentati diversi concetti importanti:
Per essere rigorosi, dobbiamo notare che la fdt(t), indicata come funzione di trasferimento del sistema nel dominio del tempo, va propriamente definita come risposta all’impulso unitario; questo semplicemente significa che essa è definita come la reazione del sistema al caso particolare di ingresso in(t) pari all’impulso unitario (o funzione a delta di Dirac, che vale sempre 0 ed 1 solo in t=0), quindi applicando al sistema questa funzione che rappresenta una sorta di campione di riferimento, se ne misura all’uscita la risposta detta unitaria ed impiegata come definizione della funzione di trasferimento del sistema nel dominio del tempo. Proseguiamo: domini del tempo e della frequenza, cosa sono? Il dominio del tempo è chiaramente il modo di ragionare al quale siamo abituati, nel quale il tempo scorrendo scandisce gli eventi e quindi nel caso dei sistemi tutte le grandezze in oggetto vengono espresse come funzioni con un certo andamento temporale. Il concetto di dominio della frequenza è invece meno immediato: dobbiamo cambiare punto di vista immaginando che ogni grandezza sia composta da tante "sotto-funzioni" di varie frequenze che sommandosi creano la grandezza. Per esempio la tensione standard della rete elettrica è una funzione di andamento sinusoidale nel dominio tempo, mentre nel dominio della frequenza si trasforma in un impulso in corrispondenza dei 50 o 60Hz. Un altro utile esempio per comprendere questo concetto di somma di frequenze che compongono una grandezza, potrebbe essere l’equalizzatore integrato negli impianti hi-fi dove risulta evidente la frammentazione del suono (la grandezza in oggetto) in diverse parti ognuna ad una certa frequenza, una per ogni levetta dell’equalizzatore; la funzione di trasferimento di tale equalizzatore, nel dominio della frequenza, risulta evidente visivamente come la somma di tutte le azioni esercitate contemporaneamente su ogni singola frequenza e determinate dalla posizione delle rispettive levette. Piuttosto complessa è la trattazione dettagliata di questi ambiti, tuttavia il concetto chiave è che in ogni istante di tempo il valore di una certa grandezza è la somma dei valori di altre funzioni a varie frequenze. Possiamo quindi scegliere da che punto di vista osservare una funzione: secondo l’andamento temporale oppure secondo la sua composizione (che si definisce spettro) e potendo ottenere semplificazioni come mostra la figura soprastante, valida nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti (LTI).
Ma cos’è un sistema lineare tempo-invariante? Per capirlo immaginiamo un oggetto reale qualsiasi che abbia ingressi ed uscite e che assolva un qualche scopo: per esempio oltre al frigorifero già citato pensiamo ad una bilancia o all’impianto di riscaldamento domestico; essi si comportano nello stesso modo ogni volta che li usiamo, quindi la loro logica di funzionamento è sempre la stessa giusto? Ecco, questi sistemi che seguono sempre le stesse leggi nonostante il tempo scorra si definiscono tempo-invarianti proprio perché non cambiano il loro comportamento nel tempo e questo risulta fondamentale per poterli studiare. Pensate cosa accadrebbe se una bilancia fosse non lineare (non rispetterebbe nessuna scala di misura sensata) o peggio non tempo-invariante (la scala di misura varierebbe da sola nel tempo): tale bilancia sarebbe assurda ed inservibile, perché non riusciremmo mai a prevedere se nel momento in cui ci posiamo sopra un oggetto la misura del peso sia corretta o meno. Ovviamente, ancora una volta, tutto questo rappresenta una semplificazione in quanto per studiare (o utilizzare) un sistema non basta che esso sia LTI ma ci sono altre condizioni necessarie, per esempio gli ingressi devono sottostare ad opportune condizioni: nella bilancia dobbiamo lasciare l’oggetto da misurare sul piatto per un certo tempo e non levarlo immediatamente, ci sono dei limiti ai pesi validi, ecc…). Va detto che i sistemi LTI rappresentano il tipico caso di studio proprio per i motivi di cui sopra ed è interessante il fatto che quando nel mondo reale si ha a che fare con sistemi di altra natura, si cerchi in qualche modo di ricondurli tramite imposizioni e/o approssimazioni a sistemi LTI di modo da consentirne lo studio.
Una piccola nota sulla convoluzione presente nello schema soprastante: potrebbe sembrare una cosa esoterica, per fare chiarezza è sufficiente notare che si tratta del calcolo dell’area sottesa ad entrambe le funzioni mentre una sta ferma e l’altra scorre coprendo ogni istante temporale. Suggerisco di immaginarla come una "spazzata" lungo l’asse dei tempi per raccogliere tutti i valori di ingresso e sottoporli quindi alla funzione di trasferimento affiché li manipoli.
Prima di chiudere vorrei proporre, alla luce di quanto scritto sopra, una riflessione "filosofica" che ritengo affascinante: la realtà nella quale viviamo è alla fine un grande macro-sistema dove agiscono simultaneamente moltissime variabili e la funzione di trasferimento che manipola queste variabili altro non è che la somma delle leggi della natura. Scopo della scienza è proprio quello di studiare questa grande funzione di trasferimento che regola quanto ci circonda. In conclusione di questa carrellata mi auguro di aver chiarito in maniera comprensibile a chiunque non solo cosa rappresenti una funzione di trasferimento, ma anche quanto vasta sia la teoria dei sistemi e soprattutto come essa sia comprensibile "in soldoni" anche senza utilizzare strumenti di arduo apprendimento. Chiudo segnalandomi a disposizione per critiche o chiarimenti e consigliando, a quanti desiderino andare oltre questa presentazione, il libro "Fondamenti di controlli automatici" (ISBN 978-88-386-6434-2).