Nell’analisi dei sistemi bisogna distinguere tra sistema, segnale di ingresso (eccitazione) e segnale di uscita (risposta del sistema). Queste tre “entità” sono messe in relazione nel disegno che segue.
Per sistema si intende un dispositivo atto a eseguire una qualche operazione, un filtro o un amplificatore sono due esempi di sistema. Per comodità i sistemi sono caratterizzati matematicamente come una trasformazione del tipo y(t) = T(x(t)) che lega il segnale di ingresso a quello di uscita attraverso la trasformazione T(-) (un funzionale) che definisce il sistema.
Le proprietà del sistema si possono ricavare dalle proprietà del legame tra x(t) ed y(t) (questo ovviamente nei limiti di validità del modello), ossia dalla proprietà della trasformazione T(-).
In questo senso si ha che se la il legame tra x(t) ed y(t) è lineare, allora il sistema è lineare, allo stesso modo se la trasformazione è tempo invariante allora anche il sistema è tempo invariante (o stazionario).
Un sistema è definito lineare se rispetta il principio di sovrapposizione degli effetti ossia dato che la risposta del sistema all’eccitazione x(t) è y(t), se lo stesso sistema viene sollecitato con un segnale A·x(t) in uscita devo osservare il segnale A·y(t) con A costante arbitraria e per qualunque segnale x(t). Formalmente un sistema è lineare se rispetta la relazione
y(t) = T( x(t) ) ⇒ A·y(t) = T( A·x(t) )
Un sistema è tempo invariante se la risposta del sistema ad una generica eccitazione non dipende dall’istante in cui questa eccitazione viene applicata in ingresso al sistema. Formalmente un sistema è tempo invariante se vale la relazione
y(t) = T( x(t) ) ⇔ y(t+t0) = T( x(t + t0) )
A questo punto vorrei evidenziare che in generale per caratterizzare un sistema non è sufficiente conoscere il solo segnale di uscita allo stesso. Le caratteristiche del sistema sono infatti date dal legame che intercorre tra eccitazione e risposta del sistema, ossia dalla proprietà della trasformazione T(-) (le proprietà del sistema non dipendono dalla particolare forma delle eccitazioni e delle risposte del sistema ma solo da come sono legate).