Salve, l’impulso rettangolare è un sistema lineare tempo invariante? Se sì perché? Invece cosa si può dire sulla linearità per quanto riguarda l’impulso triangolare? Grazie

Nell’analisi dei sistemi bisogna distinguere tra sistema, segnale di ingresso (eccitazione) e segnale di uscita (risposta del sistema). Queste tre “entità” sono messe in relazione nel disegno che segue.

 

 Per sistema si intende un dispositivo atto a eseguire una qualche operazione, un filtro o un amplificatore sono due esempi di sistema. Per comodità i sistemi sono caratterizzati matematicamente come una trasformazione del tipo y(t) = T(x(t)) che lega il segnale di ingresso a quello di uscita attraverso la trasformazione T(-) (un funzionale) che definisce il sistema.

 Le proprietà del sistema si possono ricavare dalle proprietà del legame tra x(t) ed y(t) (questo ovviamente nei limiti di validità del modello), ossia dalla proprietà della trasformazione T(-).

 

In questo senso si ha che se la il legame tra x(t) ed y(t) è lineare, allora il sistema è lineare, allo stesso modo se la trasformazione è tempo invariante allora anche il sistema è tempo invariante (o stazionario).

Allora vediamo cosa si intende per sistema lineare e stazionario.

Un sistema è definito lineare se rispetta il principio di sovrapposizione degli effetti ossia dato che la risposta del sistema all’eccitazione x(t) è y(t), se lo stesso sistema viene sollecitato con un segnale A·x(t) in uscita devo osservare il segnale A·y(t) con A costante arbitraria e per qualunque segnale x(t). Formalmente un sistema è lineare se rispetta la relazione

y(t) = T( x(t) )  ⇒  A·y(t) = T( A·x(t) )

Un sistema è tempo invariante se la risposta del sistema ad una generica eccitazione non dipende dall’istante in cui questa eccitazione viene applicata in ingresso al sistema. Formalmente un sistema è tempo invariante se vale la relazione

y(t) = T( x(t) )  ⇔  y(t+t0) = T( x(t + t0) )

A questo punto vorrei evidenziare che in generale per caratterizzare un sistema non è sufficiente conoscere il solo segnale di uscita allo stesso. Le caratteristiche del sistema sono infatti date dal legame che intercorre tra eccitazione e risposta del sistema, ossia dalla proprietà della trasformazione T(-) (le proprietà del sistema non dipendono dalla particolare forma delle eccitazioni e delle risposte del sistema ma solo da come sono legate).

Nella pratica la descrizione di un sistema lineare stazionario è dato in termini di risposta impulsiva. Ossia data “l’eccitazione standard” (ossia la delta di Dirac) viene fornita la sola risposta del sistema all’impulso, ed è questa a poter essere triangolare, rettangolare o di qualunque altra forma. Questo dato è sufficiente alla descrizione del sistema se e solo se il sistema è lineare1.

In generale quindi, quando un sistema viene caratterizzato in termini di risposta impulsiva, si intende implicitamente che questo sia almeno lineare. Se inoltre la risposta impulsiva non è funzione dell’istante di eccitazione allora il sistema è anche tempo invariante.
 

 1La descrizione mediante riposta impulsiva non necessita della stazionarietà del sistema. Si ha infatti che nel caso in cui il sistema non sia stazionario la risposta impulsiva è funzione dell’istante di eccitazione, il che complica leggermente la trattazione rispetto al caso stazionario.