Vorrei avere chiarimenti sulla radiazione di Hawking dei buchi neri descritta in termini di particelle virtuali.

Per rispondere devo fare due premesse.

(1) Il concetto di “particella virtuale” nasce dalla matematica teoria
dei campi quantistica in un preciso contesto: quello della “serie perturbativa”.
Ci sono grandezze che vengono calcolate sommando una serie infinita di
termini matematici. Queste grandezze possono essere per esempio la probabilita’
di un certo processo di distruzione-creazione di particelle, ma anche
attributi di particelle come il “rapporto giromagnetico dell’ elettrone”…
Solo la somma di tutta la serie infinita avrebbe un senso fisico. Purtroppo
i singoli termini della serie contengono quantita’ infinite: quando questi
termini possono essere “curati” si dice che la teoria e’ stata “rinormalizzata”
e tuttavia anche la somma dei termini curati spesso fornisce un risultato
infinito come nell’elettrodinamica, ma non voglio addentrami nelle problematiche
della rinormalizzazione.
Tornando alla serie di termini il cui significato e’, a priori, dato solo
dalla somma totale, si e’ cercato di dare significato anche ai singoli
termini indipendentemente dalla somma. Cio’ e’ stato fatto usando in modo
improprio il Principio di Indeterminazione di Heisenberg (vedi la chiara
risposta
di Stefano Argiro’).
Si tratta di un punto di vista epistemologicamente piuttosto complesso
non condiviso da tutti i fisici (il sottoscritto non lo condivide), ma
sicuramente intuitivamente utile e ormai di larga diffusione. I singoli
termini della serie vengono interpretati secondo questo punto di vista
facendo uso di processi di “particelle virtuali”: particelle che violano
principi di conservazione della fisica ordinaria oppure altri principi
come la causalita’ e per questo non possono considerarsi particelle vere
e proprie. La violazione avverebbe comunque rispettando i vincoli imposti
dal principio di Heisenberg (che pero’ ora si pretende di applicare in
modo ben diverso dall’interpretazione originale ad enti che non sono particelle
per loro natura e sono direttamente non osservabili per principio.)

(2) In ogni caso la spiegazione che Hawking fornisce sui testi di divulgazione
della radiazione di buco nero usa il concetto di particella virtuale.
Devo precisare che tutti i risultati sulla radiazione di Hawking sono
stati ottenuti rigorosamente senza fare uso di particelle virtuali: lo
stesso Hawking non le usa direttamente negli articoli tecnici. Tuttavia
l’uso di particelle virtuali in presenza di buchi neri e’ piuttosto problematico
perche’ lo stesso concetto di particella e’ indefinibile nel momento in
cui si e’ in presenza di campo gravitazionale, se si accetta la teoria
della relativita’ generale. Questo e’ uno dei seri problemi della teoria
dei campi quantistici in spaziotempo curvo: quando lo spaziotempo non
e’ curvo, ma e’ piatto, esso gode di alcune proprieta’ di invarianza matematicamente
descritte da un gruppo di trasformazioni (tra sistemi di riferimento equivalenti)
detto gruppo di Poincare’. Queste trasformazioni includono le ben note
trasformazioni (speciali) di Lorentz. Proprio per l’esistenza di queste
proprieta’ di invarianza si possono definire le particelle come si intendono
modernamente nella meccanica quantistica relativistica. La procedura e’
abbastanza complessa e non la descrivero’ qui. Mi basti osservare che
non appena si “accende la gravita’” e si passa allo spaziotempo curvo,
le proprieta’ di invarianza dello spaziotempo svaniscono e il concetto
di particella diventa molto piu’ problematico e parlarne richiede un’analisi
molto piu’ approfondita che nelle situazioni usuali.

Passiamo allora alla radiazione di Hawking “spiegata” in termini di
particelle virtuali.

Hawking in primo luogo assume che fuori dall’orizzonte degli eventi di
un buco nero di Schwarzschild si creino di continuo e si distruggano coppie
di particella antiparticella virtuali di ogni genere (se le particelle
non portano carica la particella coincide con l’antiparticella) con energia
totale nulla. Poi le particelle diventano “reali”, una cade nel buco nero
e l’altra fugge da esso. Il fatto che la coppia diventi reale implica
che, in linea di principio, si possono osservare le due particelle con
strumenti di rivelazione fisica e si ha la radiazione di Hawking rivelando
il flusso di particelle che fuggono dal buco nero. Notare che nulla esce
fuori dall’orizzonte degli eventi per cui non si ha violazione della causalita’:
una particella reale fugge dall’orizzonte mentre un’altra particella reale
che cade nel buco nero. La seconda ha energia negativa, e per questo la
massa-energia del buco nero diminuisce, pari alla stessa una quantita’
di quella trasportata dalla particella che si allontana dall’orizzonte
degli eventi (il buco “nero evapora”). In realta’ questa spiegazione e’
molto piu’ sottile di quanto sembri e merita una piu’ attenta discussione.
La “virtualita’” delle coppie significa in questo caso che almeno una
delle particelle ha “energia negativa” (perche’ l’energia totale della
coppia deve essere nulla) e quindi NON puo’ essere reale (tutta la coppia
e’ virtuale in tale situazione). Il punto chiave e’ capire cosa significa
energia in questo contesto, ed e’ questo il punto delicato di tutta la
questione che purtroppo non viene quasi mai spiegato nei libri di divulgazione.
Cerchero’ di fare un po’ di chiarezza, ma un minimo di spiegazione tecnica
e’ necessaria.

Vediamo in primo luogo come definire l’energia. Abbiamo bisogno di due
ingredienti tecnici.

(a) Fuori dal buco nero c’e’ un’invarianza per traslazioni temporali:
le proprieta’ dello spaziotempo non cambiano al variare di un certo tipo
di tempo. Dentro il buco nero invece questa proprieta’ di invarianza si
tramuta in un’invarianza spaziale e tutto cambia al variare del tempo
ma in una certa direzione spaziale tutto appare nello stesso modo. In
termini tecnici cio’ significa che in ogni punto dello spaziotempo c’e’
un vettore detto “vettore di Killing”. La direzione indicata da tale vettore
denota la direzione spaziotemporale in cui si hanno le proprieta’ di invarianza
suddette.

(b) Ricordo che ogni particella descrive, evolvendo nello spaziotempo,
una curva detta “linea di universo”. Fuori dall’orizzonte degli eventi,
in ogni punto (= evento, cioe’ localizzazione spaziale e temporale) raggiunto
da una curva di universo di una particella possiamo calcolarne il vettore
tangente. Il vettore tangente alla linea di universo di ogni particella
deve essere di “tipo tempo”. Se cio’ non fosse la particella violerebbe
la causalita’ e, in un certo senso, andrebbe piu’ veloce della luce.

Vediamo come tenendo conto di (a) e (b) si definisca l’energia. La proiezione
del vettore tangente sul vettore di Killing in ogni evento raggiunto dalla
linea di universo di una particella, definisce quella che si chiama energia.
La particolarita’ e’ che questa si conserva lungo tutta la linea di universo.
Si puo’ provare, in base agli assunti della relativita’, che l’energia
deve essere una quantita’ positiva altrimenti la particella si comporterebbe
in modo non fisico: il vettore tangente della sua linea di universo non
potrebbe essere di tipo tempo. Questo accade quando il vettore di Killing
e’ di tipo temporale. Come abbiamo detto cio’ accade fuori dall’orizzonte
degli eventi del buco nero.

Passiamo allora al meccanismo di Hawking. Quando si crea la coppia particella-antiparticella
fuori dall’orizzonte, la somma delle energie deve essere zero, per cui
una particella ha energia negativa e non puo’ essere fisicamente sensata.
Questa particella-che-non-esiste attraversa pero’ l’orizzonte degli eventi
oltre al quale il vettore di Killing diventa di tipo spaziale e accade
il miracolo. A causa del fatto che il vettore di Killing non e’ piu’ di
tipo tempo, pur rimanendo l’energia negativa, il vettore tangente alla
linea di universo della particella puo’ essere di tipo tempo e la particella
diventa fisica. Nel frattempo l’energia (la proiezione del vettore tangente
sul vettore di Killing) si e’ sempre conservata, per cui la particella
reale che ora cade nel buco nero porta la stessa energia che aveva quando
e’ stata creata. Questa energia, cambiata di segno, coincide come detto
sopra con quella della particella, anch’essa reale, che fugge fuori dall’orizzonte
degli eventi. In definitiva si ha un’energia positiva che fugge dal buco
nero che a sua volta diminuisce di energia(-massa) della stessa quantita’.
La spiegazione “vera” che si ottiene applicando rigorosamente la teoria
dei campi quantistica in spaziotempo curvo e’ tutt’altra cosa.

 

Bibliografia

R.M. Wald “The theory of the Big Bang and Black Holes”, The University
of Chicago Press (edito Italia dalla Bollati-Boringhieri). (altissima
ed ottima divulgazione)

R.M. Wald “General Relativity”, The University of Chicago Press. (tecnico)

R.M. Wald “Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics”,
The University of Chicago Press. (tecnico)