L’Algebra
Geometrica, di cui l’Algebra di Clifford è un tipo particolare,
è uno strumento matematico formale che fornisce una collezione di
strumenti per la risoluzione di problemi specificamente geometrici, che
unifica ed estende algebra lineare, calcolo vettoriale e geometria
differenziale.
Il nucleo centrale dell’Algebra di Clifford è il
prodotto di Clifford, un prodotto vettoriale di due vettori v,
w composto da:
- una parte scalare: data dal prodotto scalare vw
- una parte
bivettoriale, data dal prodotto vettoriale v∧w
Il prodotto di Clifford è dato, quindi, da:
v⋅w = vw + v∧w.
Si osservi che il prodotto unifica le due
nozioni di prodotto scalare e vettoriale, estendendone le caratteristiche
di complementarietà intrinseca, infatti:
- il prodotto scalare è nullo se i vettori v, w sono ortogonali.
- il prodotto vettoriale è nullo se i vettori v, w sono paralleli.
Il prodotto di Clifford estende i due prodotti ed è
interpretabile, geometricamente, come un piano orientato (dalla parte data
dal componente vettoriale), di “intensità” pari alla
parte scalare.
Volendo fornire un criterio di visualizzazione del prodotto
di Clifford dei vettori v, w, si può immaginare un parallelogramma
costruito trasportando il vettore v lungo il vettore w. Il
parallelogramma è dotato di un verso di orientamento, dato dal prodotto
vettoriale v∧w, ortogonale al piano del parallelogramma stesso,
mentre la parte scalare del prodotto di Clifford rappresenta l’area
del parallelogramma.
La caratteristica interessante dell’Algebra
di Clifford è che fornisce uno strumento per traslare operazioni
geometriche in operazioni algebriche. Ad esempio, si dimostra che una
operazione come la riflessione di un vettore a, secondo un
vettore x, è data dal prodotto di Clifford xax: una
semplice operazione algebrica che risolve il problema della riflessione,
computazionalmente piuttosto complesso. Analogamente, anche la rotazione
di un vettore di un angolo dato lungo un piano, è esprimibile mediante
un opportuno prodotto di Clifford.
Un calcolatore basato sull’algebra
di Clifford incorpora, quindi, in modo nativo operazioni di traformazione
geometrica. Una macchina progettata espressamente per questo tipo di operazioni
è in grado di effettuare milioni di trasformazioni geometriche al
secondo e fornisce uno strumento estremamente efficiente per applicazioni
quali:
- realtà virtuale;
- realtà aumentata;
- elaborazione
dei segnali; - applicazioni di cinematica dei robot;
- geometria proiettiva;
- Applicazioni di reti neurali geometriche;
- sistemi cognitivi.
Per ulteriori informazioni si veda:
www.clifford.org