salve, sono una studentessa del corso di laurea in astronomia e avrei bisogno di sapere come si arriva alla soluzione dell’oscillatore armonico in meccanica quantistica partendo dall’equazione di schrodinger in unità adimensionali.grazie mistero sabina

L’oscillatore armonico unidimensionale e’ uno dei piu’ importanti problemi (probabilmente il piu’ importante in assoluto) in meccanica quantistica. Dal punto di vista didattico, e’ utilissimo per illustrare i concetti ed i metodi base della teoria dei quanti; dal punto di vista storico, e’ stato utilizzato da Planck per introdurre i "quanti" di energia associati ad "oscillatori di radiazione"; e soprattutto dal punto di vista pratico trova applicazione in tutti i campi della fisica moderna: spettroscopia, stato solido, fisica nucleare, teoria dei campi, meccanica statistica…….

Poiche’ la domanda e’ molto precisa (non riguarda gli aspetti generali del problema dell’oscillatore armonico) e dato che la nostra amica frequenta il corso di laurea in astronomia, la mia risposta sara’ un po’ "tecnica"……………..

La soluzione del problema dell’O.A. in meccanica quantistica e’ particolarmente intuitiva ed elegante seguendo il metodo operatoriale di Dirac.

Consideriamo la hamiltoniana in unita’ adimensionali:

H=(P2+Q2)/2

dove P e [Q sono proporzionali rispettivamente agli operatori impulso e coordinata, e soddisfano la relazione di commutazione:

[Q,P]=i

Per risolvere il problema si puo’ scegliere una particolare rappresentazione (ad esempio, la {Q}) e quindi risolvere l’equazione di Schrodinger in quella rappresentazione, che risulta essere:

1/2[-d2/dQ2+Q2]u(Q)=Eu(Q)

Il metodo operatoriale di Dirac e’ piu’ diretto e consiste nel costruire gli autovettori di H partendo dall’applicazione di opportuni operatori ad uno di essi: dunque si risolve il problema senza scegliere una particolare rappresentazione.

A tal fine introduciamo gli operatori:

a=1/21/2(Q+iP)

a+=1/21/2(Q-iP)

Si verifica subito che:

[a,a+]=1

H=1/2(aa++a+a)

e, introducendo l’operatore "numero"N=a+a si ha infine:

H=N+1/2

Dunque ora il problema agli autovalori dell’O.A. e’ perfettemente equivalente al problema di costruire gli autovettori dell’operatore N: infatti H e’ funzione lineare di N ed i due operatori sono simultaneamente diagonalizzabili.

Consideriamo dunque un set di autovettori |n> ed autovalori n (per comodita’ futura li indichiamo con n, ma bisogna ancora dimostrare che sono numeri interi!) per l’operatore N. Subito osserviamo che:

N|n>=n|n> implica che H|n>=(n+1/2)|n>

e dunque gli autovalori dell’energia sono dati da

En=n+1/2

Cerchiamo ora di estrapolare il significato fisico degli operatori a ed a+:

[N,a]=-a [N,a+]=a+

da cui consegue che:

Na+|n>=([N,a+]+a+N|n>=(n+1)a+N|n>

Na|n>=([N,a]+aN|n>=(n-1)aN|n>

Dunque a+|n> (a|n>) e’ autovettore di N con autovalore aumentato (diminuito) di uno (il che, tradotto in termini di H significa aumento o diminuzione dell’energia di un "quanto"). E’ quindi appropriato il termine di operatori di creazione e distruzione .

E’ evidente dalle formule che a|n> e |n-1> sono lo stesso vettore a meno di una costante di proporzionalita’ C (cosi’ come a+|n> e |n+1>). Entrambi i fattori di proporzionalita’ si ricavano imponendo che entrambi |n> e |n-1> siano normalizzati (analogamente |n> e |n+1>):

<n|a+a|n>=n=|C|2

<n|aa+|n>=n+1=|C’|2

e dunque otteniamo:

a|n>=n1/2|n-1>

a+|n>=(n+1)1/2|n+1>

Dunque gli operatori di creazione e distruzione ci fanno muovere "su e giu’" come su una "scala" all’interno del set di autovettori dell’O.A., ma la "discesa" non puo’essere illimitata perche’ prima o poi dovremo incontrare lo stato fondamentale. Ed infatti una sequenza del tipo:

a|n>=n1/2|n-1>

a2|n>=(n(n-1))1/2|n-2>

a3|n>=(n(n-1)(n-2)1/2|n-3>

non puo’ continuare all’infinito, perche’ la positivita’ della norma del vettore a|n> (<n|a+a|n>=n>=0) impone che n non puo’ mai essere negativo.

In questo modo deduciamo anche che la sequenza deve partire da n interi, altrimenti scendendo con ripetute applicazioni di a potrei oltrepassare lo zero ed andare su valori negativi.

In conclusione, il problema dell’O.A.(in unita’ adimensionali) ha come soluzione il seguente autosistema:

En=n+1/2 |n>=[(a+)n/n!1/2]|0>

Da questa soluzione si puo’ tornare indietro e ricavare l’espressione delle autofunzioni nella rappresentazione {Q}: ricordando la definizione di a in termini di Q e P e sfruttando il fatto che P e’ la variabile coniugata a Q, l’equazione a|0>=0 diventa:

[d/dQ+Q]u0(Q)=0

la cui soluzione, normalizzata all’unita’, e’:

u0(Q)=pi-1/4e-Q2/2

A partire da questa, le altre autofunzioni si ottengono "salendo la scala" con l’operatore a+: l’espressione generica e’

un(Q)=pi-1/42-n/2n!-1/2(Q-d/dQ)ne-Q2/2

Per concludere, notiamo che la potenza di questo metodo risolutivo si mostra nella sua immediata generalizzazione per dimensione maggiore di 1: in questo caso gli autovettori sono dati dal prodotto tensoriale degli autovettori unidimensionali

|n1n2n3…….np>=|n1>||n2>|n3>……..|np>

mentre gli autovalori dell’energia risultano essere

H|n1…….np>=(H1+…….Hp)|n1>…….|np>=(n1+n2+……..np+p/2)|n1…….np>