vagando in libreria in cerca di qualche buon libro (ma quelli buoni sono così rari!) mi è capitato fra le mani un libro che riportava in copertina qualcosa di analogo alle quattro leggi di Maxwell, ma riferito alla gravitazione. La cosa mi ha lasciato così perplesso che ho giudicato il libro poco attendibile e non l’ho comprato. Ripensandoci mi sono però accorto che se fosse stato attendibile sarebbe stato un libro bellissimo, infatti ho capito bene l’elettromagnetismo, e sarei molto interessato a provare ad andare oltre la gravitazione newtoniana (ma non ho i mezzi matematici per dedicarmi alla relatività generale!). L’analogia con le’elttromagnetismo potrebbe essere un buon approccio alla gravitazione non newtoniana? Avevano senso le leggi di Maxwell della gravitazione riportate su quel libro? E’ giusto utilizzare rotori e divergenze nello studio della gravitazione? Esiste qualcosa di analogo al campo magnetico e alle onde elettromagnetiche nel caso della gravitazione? Mi rendo conto del fatto che il problema è drasticamente differente a causa della proprietà inerziale della massa, ma mi chiedevo se una conoscenza approfondita dell’elettromagneticmo potesse essere un buon trampolino di lancio verso l’approfondimento della gravitazione.

In generale non e’ atteggiamento sbagliato essere prudenti nel rapportarsi alla vasta letteratura esistente in materia di divulgazione scientifica. E’ infatti vero che, purtroppo, in libreria ci si imbatte molto spesso in titoli "poco seri" che certo non supportano il fine di avvicinare la scienza al grande pubblico dei non addetti ai lavori.

Tuttavia, il giudizio che esprimi sul libro di cui parli nella domanda mi sembra ingeneroso, se dovuto unicamente alla presenza in copertina di equazioni che richiamano in forma quelle di Maxwell per l’elettromagnetismo. Infatti se, come credo, in copertina vengono riportate le equazioni di Einstein per la gravitazione, esse non solo sono corrette ma sono anche del tutto analoghe alle corrispondenti maxwelliane e la risposta a tutte le ulteriori domande su eventuali analogie tra relativita’ generale ed elettromagnetismo e’ (con le dovute precisazioni e generalizzazioni): si’!!

L’argomento e’ veramente complesso e richiederebbe una trattazione molto estesa e approfondita (in fondo alla risposta troverai delle referenze che potranno aiutarti a saperne un po’ di piu’, se vuoi), ma cerchero’ per quanto mi e’ possibile di focalizzare l’attenzione sui concetti piu’ che sulla sostanza matematica della teoria (che e’ decisamente non banale!), sperando di riuscire ad evidenziare analogie e differenze tra l’elettromagnetismo e la relativita’ generale, e soprattutto cercando di mostrare come la teoria di Maxwell e la teoria della relativita’ speciale costituiscano il fondamentale punto di partenza ed un costante termine di paragone per la costruzione e lo sviluppo della relativita’ generale.

Le equazioni di Maxwell e la relativita’ speciale

Le equazioni di Maxwell danno una spiegazione naturale alle leggi dell’elettrodinamica tramite equazioni differenziali per il campo elettrico e il campo magnetico. Tali equazioni consentono inoltre di fare a meno dell’ipotesi di azione a distanza, molto di moda nel XIX secolo (per lo meno nel dominio dei fenomeni elettromagnetici): il campo e’ il solo portatore di interazione elettromagnetica tra i corpi e il suo comportamento e’ completamente determinato da processi contigui, espressi da equzioni differenziali.

Una caratteristica essenziale delle equazioni di Maxwell nello spazio vuoto e’ che rimangono invariate sotto un particolare tipo di trasformazioni lineari dello spazio-tempo (trasformazioni di Lorentz). In realta’ va detto che le equazioni implicano il gruppo di trasformazioni, ma non viceversa: il gruppo di Lorentz potebbe essere definito indipendentemente come un gruppo di trasformazioni lineari che lasciano invariato un particolare valore della velocita’ (la velocita’ della luce c). Tramite queste trasformazioni e’ possibile passare da un sistema cosidddetto "inerziale" ad un altro in moto uniforme relativamente al primo. La proprieta’ di maggior rilievo di tale gruppo e’ che esso distrugge il carattere di simultaneita’ di eventi distanti l’uno dall’altro nello spazio: l’unica quantita’ indipendente dall’osservatore (che resta cioe’ invariata rispetto a trasformazioni di Lorentz delle coordinate) e’ la metrica:

nab=nik(dxi)a(dxk)b

dove si intende la somma su indici ripetuti e nik=diag(-1,1,1,1).

Tale metrica definisce uno spazio-tempo a curvatura nulla, cioe’ piatto, e questo e’ il "framework" in cui la relativita’ speciale "inquadra" tutte le leggi della fisica: sulla base di queste osservazioni c’e’ dunque da aspettarsi che tutte le equazioni siano covarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz: questo e’ il principio di relativita’ speciale.

Dunque, le equazioni di Maxwell conducono ad un principio di fondo che e’ valido molto al di la’ dei limiti di applicabilita’ delle equazioni stesse!

Dalla meccanica newtoniana alla relativita’ generale

Passiamo ora alla meccanica newtoniana: essa ha in comune con la relativita’ speciale il fatto che si suppone che le leggi di entrambe le teorie siano valide solo rispetto a sistemi "inerziali". Un sistema inerziale e’ definito in modo che i punti al suo interno liberi da forza non subiscano accelerazione rispetto al sistema di coordinate.

A questo punto la strada per una generalizzazione della gravitazione newtoniana sembra gia’ tracciata: sviluppare una nuova teoria che renda compatibile le leggi classiche della gravitazione con la relativita’ speciale, cosi’ come la teoria di Maxwell aveva fatto per le leggi di Coulomb.

Tuttavia, come hai giustamente osservato nella formulazione della domanda, il problema e’ reso piu’ complicato dall’equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale. Consideriamo un sistema A uniformemente accelerato rispetto ad un sistema "inerziale" B (virgolettato perche’ la definizione verra’ tra breve estesa!): i punti non accelerati rispetto a B sono accelerati rispetto ad A con accelerazione uguale in direzione e grandezza. Dunque tali punti si comportano come se esistesse un campo gravitazionale rispetto ad A, dato che il principio di equivalenza asserisce che in un campo gravitazionale l’accelerazione e’ indipendente dalla natura particolare dei corpi: non c’e’ nessuna ragione per escludere la possibilita’ che questo comportamento sia effetto di un "vero" campo gravitazionale e quindi bisogna considerare come "inerziale" anche il sistema A. Siamo arrivati cosi’ alla conclusione che per spiegare l’equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale e’ necessario ammettere trasformazioni non lineari delle coordinate, ampliando il gruppo di Lorentz.

Cosi’, se si vuole introdurre la gravitazione in maniera coerente in una teoria relativistica, e’ necessario supporre che le leggi della fisica siano covarianti rispetto ad una qualsiasi trasformazione continua delle coordinate spazio-temporali: questo e’ il prinicipio di relativita’ generale. Tutto cio’ modifica la definizione precedente di metrica nella seguente:

gab=gik(dxi)a(dxk)b

dove per ora non sappiamo scrivere l’espressione esatta del termine gik, poiche’ esso e’ strettamente dipendente dalle trasformazioni considerate, ed in generale dobbiamo assumere che esso definisca uno spazio-tempo a curvatura diversa da zero, dunque non piu’ piatto.

Equipaggiati di questo nuovo "ambiente di lavoro" potremmo di nuovo tentare un’analogia con l’interazione elettromagnetica per procedere alla costruzione della teoria gravitazionale, semplicemente spostandoci in questo "nuovo" spazio-tempo dove comunque continuano a valere tutte le leggi fisiche: la prescrizione consiste semplicemente nel sostituire alla metrica nik la nuova metrica gik ed all’operatore derivata d dipendente dalla metrica piatta il nuovo operatore D associato alla metrica gik. (E’ in questo senso che, in risposta alla tua domanda, nello studio della relativita’ generale e’ lecito l’uso di rotori,divergenze,teorema di Gauss e via dicendo, purche’ opportunamente ridefiniti). Con questa prescrizione e’ possibile estendere (quasi) senza problemi ad uno spazio-tempo curvo tutte le leggi fisiche note (equazioni di Maxwell, equazioni dei fluidi….) ma nella formulazione di una teoria gravitazionale si presenta ancora un’altra difficolta’.

Per misurare effetti elettromagnetici in relativita’ speciale si procede usualmente cosi’: si prendono un "osservatore inerziale" non soggetto alla forza elettromagnetica ed un corpo carico; il primo, libero da forze, compira’ una traiettoria geodetica mentre il secondo si distacchera’ da essa. Misurando questa differenza di traiettoria e’ possibile determinare il tensore antisimmetrico Fab che compare nelle equazioni di Maxwell:

daFab=-4 pi jb

Le equazioni di Einstein

Questo procedimento non e’ applicabile all’interazione gravitazionale: non c’e’ alcun modo, infatti, di costruire "osservatori inerziali" non soggetti a forza gravitazionale, dunque non c’e’ alcun modo diretto di misurare il campo di forza gravitazionale.

A questo punto interviene la coraggiosa e rivoluzionaria ipotesi di Einstein che lascia il solco tracciato da Maxwell e da egli stesso (relativita’ speciale) per seguire un percorso totalmente nuovo: la metrica dello spazio-tempo non e’ piatta; corpi in caduta libera in un campo gravitazionale descrivono geodetiche della metrica (esattamente come i precedenti "osservatori inerziali"); non e’ possibile descrivere la gravita’ come un campo di forze ma bisogna vederla come un aspetto intrinseco della struttura dello spazio-tempo e della metrica in esso definita. La metrica non e’ piu solo un "framework" in cui le leggi fisiche prendono corpo, ma diventa una variabile dinamica che corrisponde al contenuto di materia dello spazio-tempo.

A questo punto siamo arrivati: le equazioni che hai trovato sulla copertina del libro in questione sono esattamente (ipotizzo!……) le relazioni tra la distribuzione di materia e la geometria dello spazio-tempo e prendono il nome di equazioni di Einstein per la gravitazione:

Gab = Rab – (1/2)Rgab = 8 pi Tab

dove Rab e’ il tensore di Ricci, collegato alla metrica gab, e Tab e’ il tensore degli sforzi, collegato alla distribuzione di materia ed energia.

Nel caso piu’ generale, in cui non si faccia uso di ipotesi di simmetria semplificative, siamo in presenza di un sistema di sedici equazioni differenziali del secondo ordine non lineari(!!!!) e questo da’ un’idea della enorme difficolta’ di trovarne una soluzione di tipo generale…….

L’analogia in forma con le equazioni di Maxwell e’ abbastanza evidente, ma tutto diventa ancora piu’ "familiare" considerando una interessante proprieta’ dello spazio-tempo. Se H:M–>M e’ un diffeomorfismo dello spazio-tempo, le metriche gab e Hgab rappresentano la stessa geometria: questa proprieta’ va sotto il nome di liberta’ di gauge della relativita’ generale.

Tuttavia e’ necessario sottolineare una fondamentale differenza tra le equazioni di Maxwell e quelle di Einstein: a prima vista, infatti, e’ naturale identificare il tensore Tab come sorgente del campo gravitazionale esattamente come la corrente ja serve da sorgente per il campo elettromagnetico. Dunque, si potrebbe provare a risolvere le equazioni per gab partendo dalla specificazione di Tab, cosi’ come si risolve il sistema di Maxwell per il potenziale vettore Aa specificando la corrente ja. Ma cio’ non ha molto senso, poiche’ l’espressione del tensore Tab contiene esplicitamente una dipendenza dalla metrica e quindi e’ necessario risolvere il sistema di equazioni contemporaneamente per la metrica e la distribuzione di materia ed energia.

Il limite "lineare" della gravita’:

"forza di Lorentz" e onde gravitazionali

Un limite interessante in cui l’analogia con l’elettromagnetismo diventa evidentissima e’ l’approssimazione in cui la gravita’ e’ debole, cioe’ il limite in cui la metrica e’ quasi piatta:

gab = nab + eab

dove eab e’ una "piccola" deviazione dalla metrica piatta nab (cioe’ le sue componenti sono molto minori di 1). Questa e’ un’approssimazione quasi sempre accettabile in natura, eccetto che in presenza di buchi neri, collassi gravitazionali, strutture a larga scala……..

Riscrivendo le equazioni di Einstein con questa espressione per la metrica e scegliendo la "gauge di Lorentz" (ebbene si, ne esiste il perfetto analogo in relativita’ generale!!) si ottiene l’espressione:

dcdceab = -16 pi Tab

che, modulo un fattore 4 al secondo membro e’ l’equazione di Maxwell!

A partire da questa equazione e’ possibile naturalmente ricavare il limite newtoniano della relativita’ generale e, tra gli altri, un risultato ancora piu’ sorprendente: il tipo di effetto prodotto dal moto delle sorgenti.

Assumendo la validita’ del regime di gravita’ debole ed inoltre supponendo che la variazione temporale della metrica sia trascurabile, si ottiene questa espressione per l’accelerazione di un corpo relativa al sistema di coordinate inerziali globali nab:

a = -E – 4v x B

dove v e’ la velocita’ delle sorgenti, E,B sono definiti ,in termini di eab, precisamente dalle stesse formule dell’alettromagnetismo: l’espressione e’ identica (di nuovo modulo un fattore 4) all’equazione della forza di Lorentz elettromagnetica su una carica in movimento!!!

Dunque la gravita’ "linearizzata" predice che il moto delle masse produce effetti "magneto-gravitazionali" assolutamente analoghi a quelli elettromagnetici!

Un ulteriore risultato sorprendente, di nuovo in analogia con la teoria di Maxwell, e’ l’esistenza di onde gravitazionali.

Partendo dall’equazione di Einstein scritta nel limite "lineare" e scegliendo stavolta la "gauge di Coulomb" (anche in questo caso ne esiste l’analogo gravitazionale), con procedimenti analoghi a quelli relativi alle onde elettromagnetiche si arriva alla dimostrazione dell’esistenza di due stati di polarizzazione indipendenti di onde gravitazionali piane: un qualsiasi pacchetto di radiazione gravitazionale e’ costituito da una sovrapposizione di queste soluzioni di onda piana.

Le principali sorgenti di onde gravitazionali sono gli stadi evolutivi finali delle stelle (cioe’ le supernove, in cui i violenti mutamenti in atto causano l’emissione di intense onde gravitazionali) e i sistemi binari di stelle in rotazione attorno al centro di massa (e’ stato osservato sperimentalmente l’avvicinamento reciproco delle stelle della coppia a causa della perdita di energia dovuta all’irraggiamento gravitazionale).

Esistono comunque profonde differenze tra le onde elettromagnetiche e quelle gravitazionali: ad esempio

-le onde elettromagnetiche sono oscillazioni del campo elettromagnetico che si propagano nello spazio-tempo, mentre le onde gravitazionali sono oscillazioni dello spazio-tempo stesso;

-le lunghezze d’onda elettromagnetiche sono piccole in confronto alle sorgenti e quindi da esse si puo’ ricavare un’immagine delle sorgenti, mentre nel caso gravitazionale le lunghezze d’onda sono comparabili o piu’ grandi delle sorgenti;

-le onde elettromagnetiche sono facilmente schermabili o attenuabili, mentre le onde gravitazionali si propagano inalterate attraverso (quasi) ogni ostacolo;

-il range di frequenze elettromagnetiche va da 107Hz in su per 20 ordini di grandezza, mentre nel caso gravitazionale si va da 104Hz in giu’ per altrettanti ordini di grandezza;

-lo sviluppo in multipoli dell’onda gravitazionale parte dal quadrupolo: l’accelerazione del "momento di dipolo", nel caso di masse in moto relativo interno ad esempio, e’ proporzionale all’accelerazione del baricentro e quindi nulla.

Per rivelare tali "increspature" dello spazio-tempo si sfrutta tipicamente il fatto che la deformazione della geometria spazio-temporale causata dall’onda determina su due masse libere sospese ad una distanza L uno spostamento proporzionale ad L e all’ampiezza dell’onda:

un valore tipico per tale spostamento, nel caso di due masse separate da 1 km di distanza e’ circa 10-18 metri, vale a dire tre ordini di grandezza piu’ piccolo del diametro di un protone!!!

Con la speranza di non averti incasinato irrimediabilmente le idee (ma non sono molto ottimista al riguardo!…..), mi fermo qui e mi limito a riportare qualche referenza che ho trovato utile.

Sono messe rigorosamente in ordine di difficolta’: il primo libro e’ veramente introduttivo, il secondo e’ un po’ piu’ avanzato ma ha l’ indiscutibile pregio di essere stato scritto da Steven Weinberg, mentre il terzo e’ senza dubbio ad un livello superiore.

Buona lettura!

-B.F.Schutz, A First Course in General Relativity, Cambridge 1985

-S.Weinberg, Gravitation and Cosmology, Wiley 1972

-C.Misner,K.Thorne,J.Wheeler, Gravitation, Freeman 1973