[M] Il giocattolo

1. Non esiste un accordo generalizzato per l'esclusione o l'inclusione dello zero nei naturali
2. Ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell'inclusione) o di incompletezza (nel caso dell'esclusione) praticamente irrisolvibili.

• numeri naturali: 1,2,3,4,5...
• numeri "whole" (integri - da non confondere con gli interi -): 0,1,2,3,4,5 ...
• numeri interi :  ...-3,-2,-1,0,1,2,3 ...

"Per una persona di cultura media, oggi, il punto ovvio di partenza della matematica sarà la successione dei numeri interi ("whole"),
1,2,3,4 ...
E' probabile che solo ad una persona che conosca un po' di matematica verrebbe in mente di cominciare con lo 0 anziché da 1; presupponiamo comunque questo grado di cultura e prendiamo come nostro punto di partenza la serie
0,1,2,3,...,n,n+1,...
questa sarà la serie che chiameremo 'la serie dei numeri naturali' ". 

Purtroppo, nella edizione italiana "whole numbers" è stato tradotto come "interi", generando confusione con i veri e propri interi, ovvero la serie dei relativi popolarmente nota come dei "numeri col segno".
Si osservi come Russel impieghi i termini "naturali" e "whole" in modo opposto a quanto esposto prima.
L'origine dei numeri naturali sembra essere dovuta alla necessità di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità. Questa operazione di astrazione è stata una operazione sicuramente non banale che testimonia il nostro alto grado di civiltà. Lo stesso Russel dice: 

"Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. (...) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci ed i Romani non avevano questa cifra".

In questo passo Russell usa un efficace gioco di parole sul termine inglese "digit" che in italiano  significa sia "cifra" che "dito". Quindi lo zero è sicuramente un numero particolare, poiché non è corrispondente ad alcun "dito" e rappresenta la "quantità di cose in un insieme di oggetti che non esiste".
Supponiamo di essere un gestore di una taverna nell'antica Roma che abbia la necessità di tenere il conto del numero di bottiglie Falerno in cantina. Il sistema dei numeri naturali può essere un ottimo strumento per supportare il nostro lavoro.
La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso, è incompleta senza un simbolo che indichi l'assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo infatti in grado di scrivere su un foglio l'evento "non ci sono più bottiglie in cantina". Viceversa, l'inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell'insieme basata sull'assunto che ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità di bottiglie. Lo zero sarebbe l'unico numero legato alla assenza di bottiglie.
Quindi, mentre i numeri 1,2,3... sono legati ad una presenza concreta di oggetti, lo zero è sicuramente speciale perché corrisponde all'idea astratta dell'assenza di bottiglie.
La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è quindi evidente: se i numeri naturali sono l'astrazione della misura di una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto "misura del vuoto" ?
I matematici hanno, quindi, tanta  difficoltà ad inserire quanta ad escludere lo zero nei numeri naturali  (nei libri di matematica lo zero è apparso nella serie dei numeri naturali solo dagli anni '60 in poi) perché adottando il modello inclusivo si ottiene un sistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il fenomeno dell'assenza. Ma includendo lo zero siamo costretti ripetutamente ad escluderlo e a trattarlo come una eccezione quando si tentano di compiere ulteriori operazioni sui naturali (ad esempio, nella costruzione dei numeri razionali siamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Viceversa, adottando il modello esclusivo le incoerenze scompaiono ma non siamo più in grado di rappresentare alcuni fenomeni, come la misura dell'insieme vuoto.
 

[S/U] Quando il giocattolo si rompe.

In soldoni, il sistema dei numeri naturali N è costruito nel modo seguente:
[S]
N ha un elemento iniziale, detto 0, ed una funzione di successore tale che
1) non esistono due numeri naturali con lo stesso successore
2) lo 0 non è successore di alcun numero naturale
3) N è l'unico insieme che contiene lo zero e tutti i suoi successori (ovvero, ogni insieme che goda di questa proprietà è uguale ad N) 

Il terzo postulato di Peano è importante perché definisce il "principio di induzione matematica", formulato nel modo seguente:
[U]
"Sia M un insieme ordinato, P una proposizione (o proprietà) definita sugli
elementi m di M e 0 il primo elemento di M:
Se
        P(0) è vera     (passo base dell'induzione)
e
        P(m) è vera    (ipotesi induttiva) => P(m+1) è vera
allora
        P(m) è vera per ogni m in M "

In soldoni:
[S]
Se M è un insieme ordinato (ovvero è definito un elemento iniziale 0 ed è possibile stabilire in modo univoco il successore di ogni elemento in M). Sia inoltre P una proprietà qualsiasi che sia vera per lo 0.
Se, supponendo che P sia vera per un elemento qualsiasi di M, riusciamo a dimostrare che P è vera anche per il suo successore, allora P è vera per tutto M. 

I postulati di Peano consentono, quindi, di costruire l'insieme dei numeri naturali N partendo da un elemento iniziale ed utilizzando una funzione di costruzione del successore tramite un procedimento detto di "induzione strutturale".
La differenza tra il modello inclusivo ed esclusivo è apparentemente banale: nel primo l'elemento privilegiato è lo zero, nel secondo è l'uno.
La costruzione dei naturali per induzione strutturale è un procedimento astratto; in altri termini nel procedimento non viene definito il "significato concreto" associato ad ogni elemento in N. In realtà l'insieme dei numeri naturali è nato per rappresentare la quantità di oggetti in un dato insieme o, più formalmente:
[U] "Esiste un isomorfismo tra l'insieme N dei numeri naturali e la cardinalità degli insiemi finiti"

Al numero n corrispondono quindi gli insiemi finiti di n penne, n tavoli, n viaggi alle Maldive, ecc..
E al numero 0 ? Che senso ha dire che al numero zero corrispondono 0 penne, 0 tavoli, 0 viaggi alle Maldive ?
Non c'è dubbio che allo zero spetti un trattamento decisamente speciale. Includendo lo zero nei numeri naturali si va incontro ad una serie interminabile di eccezioni e paradossi, ad esempio:

• Se ad ogni numero naturale n corrisponde un insieme finito di n elementi, al numero zero deve corrispondere un insieme finito di zero elementi. Ma zero è un numero finito ? In matematica i numeri possono essere finiti o infiniti, non c'è via di mezzo. Per il principio di induzione zero deve essere finito, altrimenti non vale il passo base dell'induzione e nessun numero naturale sarebbe finito. Quindi, zero "deve essere" finito. Allo stesso modo, l'insieme vuoto "deve essere" finito, per quanto sia difficile da digerire, in concreto.

• Nella costruzione dell'insieme Q dei numeri razionali, un numero q = n/m è finito se n ed m sono finiti. Nell'ipotesi che zero sia finito, il rapporto n/0 è finito o no ? Se non è finito, la regola "il rapporto tra due numeri finiti è un numero finito" è vera o no ? Diciamo allora che è sempre vera "tranne" per m = 0.

[S] Ma è possibile costruire un giocattolo che non si rompa ?

Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Teorema di Incompletezza di Godel

Entrambe le affermazioni postulano che è impossibile formulare un sistema che sia contemporaneamente coerente e completo e che tale impossibilità è sia fisica (Heisemberg) che concettuale (Godel).
E' fisicamente impossibile conoscere con completezza lo stato di una particella subatomica (qualitativamente: tutto l'universo è fatto di particelle subatomiche) e se ci proviamo la nostra misurazione non può essere coerente con le altre, perché imprecisa.
E' concettualmente impossibile stabilire un sistema formale di regole coerente e completo che rappresenti  i fenomeni; eliminando gli assiomi che possono portare alla contraddizione si perde in completezza, e viceversa. 

Il motivo per cui i matematici hanno tante difficoltà ad inserire lo zero nella serie dei numeri naturali è per la impossibilità di decidere nell'uno o nell'altro senso. In linea teorica è possibile astrarre il significato dei numeri naturali aggiungendo lo zero e sfruttando il sistema formale ottenuto per modellare realtà "locali" (cioè limitate ad un ambito specifico), ma è certamente impossibile stabilire una volta per tutte e per tutti i fenomeni un modello unico di riferimento.
 

Appendice

Applicazioni o funzioni.

f(A) := Im(f) := {b in B tali che b = f(a) per ogni a in A}

f è detta:

• iniettiva  se  f(a) = f(b) <=> a = b per ogni a, b in A
• suriettiva se f(A) = B
• biettiva se f è suriettiva ed iniettiva

Bertrand Russel

Werner Heisenberg

Kurt Godel

Bibliografia

WWW Links (in inglese)

• BERTRAND RUSSELL ARCHIVES
• The Math Forum Home Page
• Kurt Godel
• Werner Heisenberg

Nota