C'è una legge matematica che permette di verificare se un numero è primo senza dover eseguire tutte  le divisioni? Esiste una Regolarità nel succedersi dei numeri primi? Conoscendo un certo numero  primo, è possibile calcolare il successivo?  
(risponde Luca Fini) 

I numeri primi sono infiniti. Di questo fatto sono state date varie dimostrazioni. La prima dimostrazione conosciuta è dovuta ad Euclide (300 a.C). 

 Il più semplice test di primalità è il noto Crivello di Eratostene, ma al di la del fatto che è piú semplice del metodo delle divisioni successive, è adatto solo per numeri relativamente piccoli. 

 Quando i numeri si fanno grandi, occorre utilizzare altri test che però non sono generali. Si applicano cioè a particolari forme di numeri (ad esempio i numeri di Mersenne), oppure sono validi per numeri non maggiori di un dato massimo. Ad esempio esiste un test di primalità molto migliore che non le divisioni successive o il Crivello di Eratostene, ma vale "solo" per numeri minori di 341550071728321. 

 Le dimostrazioni di tali test sono piuttosto complesse, per chi volesse approfondirle esiste una vasta letteratura disponibile ed anche documentazione in rete. 

 Il sito più completo e alla URL: http://www.utm.edu/research/primes/ e contiene numerose informazioni e link (in maggioranza in Inglese e di complessità spesso a livello di ricerca) specifici sui numeri primi. 

 Per quanto riguarda la regolarità dei numeri primi la risposta è, in assoluto: No, non esiste alcuna regolarità dei numeri primi. 

 Tuttavia, il numero di numeri primi non maggiori di un dato numero x, funzione che è chiamata pi(x), ha delle sorprendenti proprietà: 

 Il "teorema dei numeri primi" afferma che: 

                  pi(x)
        lim     ---------   = 1
        x->inf   x/(log x)

in parole povere x/(log x) è una buona approssimazione di pi(x). 

 Da questo teorema (la cui dimostrazione ometto per pietà del lettore) si ricavano due conseguenze: 

1. l' ennesimo (n-esimo) numero primo è, all'incirca uguale a: n (log n)
2.  
3. La probabilità che un numero x sia primo è: 1/(log x) 

Queste non sono regolarità di tipo funzionale (ovvero non ci consentono di ricavare un numero primo come funzione di altri numeri), ma di tipo sostanzialmente "statistico".