20.12.1999

Un commento del prof. P. Odifreddi alla domanda/risposta su Godel

Le conseguenze del teorema di Godel per l'epistemologia della matematica ci sono, ma sono limitate e meno estese di quanto si suole in genere affermare, soprattutto negli scritti divulgativi. Il teorema dice che gli usuali sistemi formali della matematica che contengano una minima parte dell'aritmetica sono incompleti, nel senso che non possono dimostrare tutte le verita' esprimibili nel linguaggio della teoria.

E' dunque in gioco l'incompletezza, che riguarda l'insieme di tutte le possibili verita', da quelle piu' stupide e superficiali a quelle piu' profonde. I matematici non sono MAI stati interessati a TUTTE le (infinite) verita', ma solo ad un piccolo numero (finito) di esse, significative da qualche punto di vista particolare. Il teorema di Godel non dice nulla sulla indimostrabilita' o indecidibilita' di queste singole affermazioni, in particolare sui principali problemi aperti della matematica, e parla solo dell'indecidibilita' della MAGGIOR PARTE delle affermazioni. Il che non significa affatto che quelle interessanti in teoria o in pratica non possano poi risultare decidibili in un senso o nell'altro: ad esempio, per qualche tempo si e' pensato che il cosiddetto teorema di Fermat potesse essere vero ma indimostrabile, e poi lo si e' invece dimostrato. In sintesi, il teorema di Godel riguarda QUANTO si possa sapere della verita' matematica (e la risposta e' POCO), ma non dice COSA (non) si possa sapere.

Le limitazioni del teorema di Godel non sono comunque piu' devastanti di quelle di Cantor o di Turing, che hanno rispettivamente dimostrato che quasi tutti i numeri reali non si possono definire, e quasi tutte le funzioni di numeri interi non si possono calcolare. Il che non impedisce che noi continuiamo ad interessarci ai pochi numeri reali definibili (fra i quali ci sono, per forza di cose, tutti quelli noti, dai razionali a pi greco), o delle poche funzioni calcolabili (fra le quali ci sono tutte quelle che possono calcolare i computer, e dunque tutte quelle di interesse per
l'informatica teorica o pratica).

In ogni caso, voler estendere il teorema di Godel ad altri ambiti che non sono i suoi propri e' pericoloso, e puo' generare fraintendimenti. Tanto per cominciare, non lo si puo' neppure estendere a tutti i sistemi matematici:
ad esempio, la teoria elementare della geometria e' completa, come ha dimostrato Tarski, e dunque le limitazioni di Godel richiedono in modo essenziale l'aritmetica. Non parliamo poi delle estensioni ad ambiti che non sono neppure strettamente matematici, dalla fisica alla politica. La mia opinione e' che in questi campi sia meglio lasciar perdere i teoremi di Godel, e considerare limitazioni intrinseche, dal principio di indeterminazione di Heisenberg e il teorema di Bell nel primo caso, ai teoremi di Arrow e Sen nel secondo (sui quali credo ci siano dei miei saggi nella pagina web curata da Sirtoli e Scarpel).

Cio' detto, e' innegabile che tutti questi risultati dimostrino che ci sono limiti alla conoscenza, e che la "verita'" si possa soltanto approssimare in maniera estremamente ristretta. Ma questo puo' turbare soltanto coloro che credevano che si potesse sapere tutto. Per me l'interesse dei teoremi limitativi non sta nel fatto che essi mostrino limiti alla conoscenza matematica dell'universo, ma che lo dimostrino in maniera matematica!  In altre parole, il pensiero formale sara' pure limitato, ma fra le sue limitazioni non c'e' quella di non sapere di essere limitato! Conoscere i propri limiti, non e' forse l'espressione piu' alta della consapevolezza?

Piergiorgio Odifreddi

Dipartimento di Matematica,  Torino
e-mail: piergior@dm.unito.it