{"id":984,"date":"2024-02-10T14:19:46","date_gmt":"2024-02-10T13:19:46","guid":{"rendered":""},"modified":"2024-02-12T10:48:34","modified_gmt":"2024-02-12T09:48:34","slug":"984","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/984\/","title":{"rendered":"Vorrei conoscere la deduzione matematica dell’ellitticit\u00e0 delle orbite dalla proporzionalit\u00e0 all’inverso del quadrato della distanza, possibilmente in maniera semplificata rispetto all’esposizione di Newton."},"content":{"rendered":"\n

Effettivamente la prima legge di Keplero \u00e8 la pi\u00f9 semplice da enunciare ma al contempo la pi\u00f9 difficile da ricavare. Newton infatti la dimostr\u00f2 nell’opera Principia Matemathica Philosophiae naturalis<\/i> dando un contributo fondamentale non solo all’astronomia, ma anche all’analisi matematica, poich\u00e9 per la dimostrazione mise a punto il calcolo differenziale (che egli per\u00f2 raffigurava geometricamente chiamandolo metodo delle flussioni<\/i>).<\/p>\n\n\n\n

Trovare un modo semplice per ricavare l’equazione dell’orbita di un pianeta partendo dall’espressione della forza, dell’energia e del momento angolare \u00e8 impresa ardua. Meglio dire chiaramente che senza la soluzione di un’equazione differenziale del primo ordine:<\/p>\n\n\n

\n
\"\"\/<\/figure>\n<\/div>\n\n\n

dove <\/p>\n\n\n\n

\"\begin{equation} \mu = \frac{M_1M_2}{M}\" <\/p>\n\n\n\n

non ci possiamo arrivare per mezzo di equazioni<\/i>.<\/p>\n\n\n\n

Tuttavia \u00e8 possibile lavorare in modo semi-intuitivo operando come fece una delle menti pi\u00f9 brillanti di questo secolo: il fisico teorico Richard P. Feynman durante la lezione che tenne alle matricole del California Institute of Tecnology il 13 marzo 1964.
La brillante lezione sul moto dei pianeti intorno al sole sfrutta strumenti matematici non pi\u00f9 complessi della geometria piana. Negli appunti di Feynman sono stati trovati evidenti riferimenti alla dimostrazione delle leggi di Keplero, come quelli che Newton aveva riportato nei suoi “Principia Mathematica”, ma come dice Feynman stesso, ad un certo punto della lezione il procedimento della dimostrazione \u00e8 del tutto originale.<\/p>\n\n\n\n

Infatti la dimostrazione di Newton data nei Principia Mathematica<\/i> \u00e8 difficile da seguire perch\u00e9 si appoggia su astruse propriet\u00e0 geometriche delle ellissi. Inoltre la dimostrazione parte dal moto ellittico e giunge a dimostrare che la forza che lo determina \u00e8 centrale e dipende dall’inverso della distanza. Feynman invece parte dall’espressione della forza centrale che dipende dall’inverso del quadrato della distanza, dal fatto che l’orbita \u00e8 un percorso chiuso con una distanza minima ed una massima dal Sole, dalla seconda legge di Keplero che impone la costanza delle velocit\u00e0 areolari, e giunge a dimostrare che l’orbita risultante \u00e8 una ellisse.<\/p>\n\n\n\n

\"\"Tale dimostrazione si trova nel libro
Il moto dei pianeti intorno al Sole <\/b>
titolo originale: “Feynman’s Lost Lecture, The Motion of Planets Around the Sun” di D.L. Goodstein e J.R. Goodstein
Editore: Zanichelli – Collana: Le ellissi<\/p>\n\n\n\n

E’ anche disponibile una serie di slides<\/a> di Angelo Angeletti<\/a> che riassumono bene il contenuto.<\/p>\n\n\n\n

Oppure, se si ha confidenza con la lingua inglese, la stessa dimostrazione<\/a> \u00e8 reperibile in internet.
Consiglio di seguire tale dimostrazione avendo a disposizione un foglio circolare di una ventina di centimetri di diametro. L’autore della pagina web sopra riportata suggerisce di ripiegare il foglio per visualizzare l’ellisse, ma io aggiungo di ripassare le pieghe con un tratto di matita (come suggerisce il metodo originale di Feynman).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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