{"id":950,"date":"2006-03-31T00:00:00","date_gmt":"2006-03-30T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"950","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/950\/","title":{"rendered":"Esiste in matematica una definizione di “contare”?"},"content":{"rendered":"

La definizione rigorosa di contare \u00e8 stata fornita da Giuseppe Peano, 1858-1932, matematico italiano e coincide essenzialmente con la definizione dell\u2019insieme dei numeri naturali N:
“Il sistema N<\/span> dei numeri naturali \u00e8 un insieme N<\/span> con una funzione succ:N<\/span>->N<\/span> (la funzione “successore”) ed un elemento privilegiato 0 in N<\/span> tale che:
1) succ \u00e8 iniettiva
2) 0 non appartiene all\u2019immagine di succ
3) qualsiasi sottoinsieme U di N<\/span> che abbia lo 0 e che contenga il successore di ogni elemento di N<\/span> e di U \u00e8 uguale a tutto N<\/span> ”
In matematica il procedimento di contare equivale a stabilire un insieme N<\/span>, dotandolo di un elemento iniziale, detto 0, ed una funzione di successore tale che
1) non esistono due numeri naturali con lo stesso successore
2) lo 0 non \u00e8 successore di alcun numero naturale
3) N<\/span> \u00e8 l\u2019unico insieme che contiene lo 0 e tutti i suoi successori (ovvero, ogni insieme che goda di questa propriet\u00e0 \u00e8 uguale ad N<\/span>) .
In pratica, stabilito un elemento iniziale, lo 0, la funzione successore consente di determinare tutti gli elementi successivi. In matematica, insiemi costruiti in questo modo vengono detti enumerabili e sono di importanza capitale per tutta una serie di risultati davvero notevoli e, spesso, controintuitivi.
Il procedimento di \u201ccontare\u201d cos\u00ec definito consente infatti non solo di contare (enumerare) insiemi finiti, ma anche stabilire criteri di enumerabilit\u00e0 di insiemi infiniti. Si dimostra, ad esempio, che i numeri naturali sono tanti quanti i numeri pari e tanti quanti i numeri dispari, ovvero che la successione infinita, 0, 1, 2, 3, \u2026 conta tanti numeri quanto quella 0, 2, 4, 6, \u2026. e la 1, 3, 5, 7, \u2026
Il risultato \u00e8 fortemente controintuitivo perch\u00e9 i numeri pari si ottengono togliendo i dispari dai numeri naturali quindi, apparentemente, dimezzandoli. <\/p>\n

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