{"id":944,"date":"2006-09-05T00:00:00","date_gmt":"2006-09-04T22:00:00","guid":{"rendered":""},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T22:00:00","slug":"944","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/944\/","title":{"rendered":"cosa afferma precisamente il settimo problema di hilbert e quali sono le implicazioni del teorema di gelfond. inoltre, cosa  vuol dire (se \u00e8 corretta) l&#8217;affermazione secondo cui &#8220;i numeri trascendenti conferiscono al sistema dei numeri reali la densit\u00e0 che da luogo ad una potenza superiore&#8221;?"},"content":{"rendered":"<p>Il settimo problema di Hilbert riguarda lo studio dell&#8217;irrazionalit\u00e0 e della trascendenza di determinati numeri interi. La storia ha inizio con il 1873, anno nel quale C.Hermite dimostr\u00f2 la trascendenza di e, e nel 1882, anno della dimostrazione della trascendenza di &#960;, per opera di Lindemann.<\/p>\n<p>Ricordiamo che un numero reale \u00e8 trascendente se non \u00e8 algebrico, ovvero se non \u00e8 soluzione di nessuna equazione algebrica a coefficienti interi.<\/p>\n<p>Hilbert pose il problema di determinare, per esempio, la trascendenza di 2^&#8730;2; il problema fu risolto nel 1934 da Gelfond e Schneider (indipendetemente l&#8217;uno dall&#8217;altro) appoggiandosi ad un Teorema di Gelfond del 1929. I risultati di Gelfond sono pi\u00f9 generali del caso particolare posto da Hilbert, ma sono troppo specifici e coinvolgono nozioni difficili di Teoria dei numeri.<\/p>\n<p>Quanto alla densit\u00e0, si dimostra agevolmente che i numeri algebrici sono in quantit\u00e0 numerabile (infatti sono associati ad equazioni a coefficienti interi, e basta usare la numerabilit\u00e0 di <span style=\"font-weight: bold;\">Z<\/span>). Poich\u00e8 invece Cantor ha dimostrato che l&#8217;insieme <span style=\"font-weight: bold;\">R<\/span> non \u00e8 numerabile ma ha la potenza del continuo come cardinalit\u00e0, ne segue che ci\u00f2 che ai reali d\u00e0 la potenza del continuo \u00e8 il complementare dei numeri algebrici, ovvero i\u00a0 numeri trascendenti. Tra le righe uno potrebbe anche dire che dai naturali agli algebrici uno non aggiunge praticamente &#8220;niente&#8221;; il vero salto di cardinalit\u00e0 si fa aggiungendo i trascendenti.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>[&#8230;]<\/p>\n","protected":false},"author":228,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[72],"tags":[],"class_list":["post-944","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-teoria-dei-numeri"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/944","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/users\/228"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=944"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/944\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=944"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=944"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.vialattea.net\/content\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=944"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}